Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, II тур регионального этапа

Можно ли отметить в ряду всех натуральных чисел бесконечно много чисел так, чтобы разность любых двух отмеченных чисел (где из большего вычитается меньшее) была квадратом натурального числа? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Пусть так отметить числа можно. Пронумеруем отмеченные числа в порядке возрастания: $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots.$ Положим $b_n = a_{n+1}-a_n.$ По условию в последовательности $b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$ любое число является квадратом натурального числа. Кроме того, квадратом является любая сумма $b_k+b_{k+1}+\ldots+b_n = a_{n+1}-a_k.$ Пусть $b_2+\ldots+b_n = (c_n)^2.$ Очевидно, $c_1 < c_2 < \ldots < c_n < \ldots.$ Поэтому найдется такое $n,$ что $2c_n+1 > b_1.$ Сумма $b_1+b_2+\ldots+b_n$ должна быть квадратом некоторого натурального числа $d.$ При этом $d^2 > (c_n)^2,$ откуда $d^2 \ge (c_n+1)^2 = (c_n)^2+2c_n+1 > (c_n)^2+b_1 = d^2.$ Противоречие.