Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры
Кез келген екі белгіленген санның айырмасы (үлкен саннан кішісін азайтады) толық квадрат болатындай, барлық натурал сандар қатарында шексіз көп сандарды белгілеп шығуға болады ма?
(
А. Голованов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. Нельзя.
Решение. Пусть так отметить числа можно. Пронумеруем отмеченные числа в порядке возрастания: a1,a2,…,an,…. Положим bn=an+1−an. По условию в последовательности b1,b2,…,bn,… любое число является квадратом натурального числа. Кроме того, квадратом является любая сумма bk+bk+1+…+bn=an+1−ak. Пусть b2+…+bn=(cn)2. Очевидно, c1<c2<…<cn<…. Поэтому найдется такое n, что 2cn+1>b1. Сумма b1+b2+…+bn должна быть квадратом некоторого натурального числа d. При этом d2>(cn)2, откуда d2≥(cn+1)2=(cn)2+2cn+1>(cn)2+b1=d2. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.