Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Можно ли расставить на ребрах куба 12 натуральных чисел так, чтобы суммы чисел на любых двух противоположных гранях отличались ровно на единицу?
(
Д. Храмцов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Существуют ли такие различные натуральные числа a, b и c, что число a+1/a равно полусумме чисел b+1/b и c+1/c?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Углы треугольника ABC удовлетворяют условию 2∠A+∠B=∠C. Внутри этого треугольника на биссектрисе угла A выбрана точка K такая, что BK=BC. Докажите, что ∠KBC=2∠KBA.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Пусть n — натуральное число, большее 1. У Кости есть прибор, устроенный так, что если в него положить 2n+1 различных по весу монет, то он укажет, какая из монет — средняя по весу среди положенных. Барон Мюнхгаузен дал Косте 4n+1 различных по весу монет и про одну из них сказал, что она является средней по весу. Как Косте, использовав прибор не более n+2 раз, выяснить, прав ли барон?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)