Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур заключительного этапа

Можно ли расставить на ребрах куба 12 натуральных чисел так, чтобы суммы чисел на любых двух противоположных гранях отличались ровно на единицу? ( Д. Храмцов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нельзя.
Решение. Допустим, так расставить числа удалось. Тогда сумма всех чисел на любых двух противоположных гранях нечетна. Сложив все три такие суммы, получим нечетный результат. Но в этом результате каждое ребро учтено ровно два раза, поскольку лежит в двух гранях куба, поэтому он должен быть четным. Противоречие.