Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2011-2012 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. Кез келген қарама-қарсы екі беттегі сандардың қосындыларының айырмасы 1 болатындай кубтын қабырғаларына 12 натурал сан қойып шығуға бола ма? ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $a+1/a$ саны $b+1/b$ мен $c+1/c$ сандарының қосындысының жартысына тең болатындай әр түрлі натурал $a$, $b$ және $c$ сандары табылады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының бұрыштары үшін $2 \angle A+ \angle B=\angle C$ теңдігі орындалады. Осы үшбұрыштың ішінде $A$ бұрышының биссектрисасынан $BK=BC$ болатындай $K$ нүткесі алынған. $\angle KBC=2 \angle KBA$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. $n$ саны — 1-ден үлкен натурал сан болсын. Костяда, егер салмағы жағынан әр түрлі $2n+1$ тиын салсақ, салмағы жағынан қайсысы ортанғы екенін көрсететін құрал бар. Барон Мюнхгаузен Костяға салмағы жағынан әр түрлі $4n+1$ тиын берді және де ішіндігі бір тиынды салмағы жағынан ортаңғысы деп көрсетті. Өзінің құралымен ең көп дегенде $n+2$ өлшеу жүргізу арқылы Барон Мюнхгаузеннің шың немесе өтірік айтқанын Костя қалай тексере алады? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

---