Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2010 год

Задача №1. Саша и Дима играют в игру на доске

$100\times 100$ . В начале игры Саша выбирает 50 клеток и ставит на них по одному королю. После этого Дима выбирает одну из свободных клеток и выставляет на нее ладью. Далее игроки ходят по очереди (начинает Саша). Каждым своим ходом Саша перемещает каждого из королей на соседнюю по стороне или углу клетку, а Дима своим ходом передвигает ладью на любое количество клеток по горизонтали или вертикали. При этом ладья не может "перепрыгивать" через короля и "бить" короля. Сможет ли Саша действовать так, чтобы рано или поздно побить ладью одним из королей? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №2. Точка

$H$ — ортоцентр остроугольного треугольника

$ABC$ . Внутри стороны

$BC$ выбрана точка

$D$ . Точка

$P$ построена таким образом, что

$ADPH$ — параллелограмм. Докажите, что

$\angle DCP < \angle BHP$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №3. По кругу стоят 2010 цифр, каждая из которых равна 1, 2 или 3. Известно, что при любом

$k$ в любом блоке из

$3k$ подряд идущих цифр каждая из цифр 1, 2, 3 встречается не больше

$k+10$ раз. Докажите, что существует блок из нескольких подряд идущих цифр, в котором цифр каждого из видов поровну. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что при любом вещественном

$\alpha > 0$ число

$[\alpha n^2]$ четно для бесконечного множества натуральных

$n$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №5. Барон Мюнхгаузен хвастается, что знает замечательный квадратный трехчлен с положительными коэффициентами: он сам имеет целый корень; если ко всем его коэффициентам прибавить по единице, то полученный трехчлен снова будет иметь целый корень; если второй раз прибавить ко всем коэффициентам по единице, то и этот трехчлен будет иметь целый корень. Не обманывает ли барон? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №6. Дано натуральное число

$n$ . Известно, что существуют такие 2010 последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на

$n$ , но их произведение кратно

$n$ . Докажите, что существуют такие 2004 последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на

$n$ , но их произведение кратно

$n$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №7. Продолжения сторон

$AB$ и

$CD$ вписанного четырёхугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ , а продолжения сторон

$AD$ и

$BC$ — в точке

$Q$ . Докажите, что расстояние между ортоцентрами треугольников

$APD$ и

$AQB$ равно расстоянию между ортоцентрами треугольников

$CQD$ и

$BPC$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение

Задача №8. В стране учатся

$4^{9}$ школьников, живущих в четырех городах. В конце учебного года правительство провело ЕГЭ по 9 предметам, за каждый из которых каждый ученик получил 1 балл, 2 балла, 3 балла или 4 балла. Известно, что у любых двух учеников отметки хотя бы по одному предмету отличаются. При этом оказалось, что у любых двух учеников, живущих в одном городе, совпадают отметки хотя бы по одному предмету. Докажите, что найдется такой предмет, что у любых двух детей, живущих в одном городе, совпадают отметки именно по этому предмету. ( Ф. Петров )
комментарий/решение