қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2010 год
Задача №1. Саша и Дима играют в игру на доске $100\times 100$. В начале игры
Саша выбирает 50 клеток и ставит на них по одному королю.
После этого Дима выбирает одну из свободных клеток и выставляет на
нее ладью. Далее игроки ходят по очереди (начинает Саша). Каждым
своим ходом Саша перемещает каждого из королей на соседнюю по стороне или
углу клетку, а Дима своим ходом передвигает ладью на любое количество
клеток по горизонтали или вертикали. При этом ладья не может
"перепрыгивать" через короля и "бить" короля. Сможет ли Саша действовать
так, чтобы рано или поздно побить ладью одним из королей?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Точка $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$. Внутри
стороны $BC$ выбрана точка $D$. Точка $P$ построена таким образом, что
$ADPH$ — параллелограмм. Докажите, что $\angle DCP < \angle BHP$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. По кругу стоят 2010 цифр, каждая из которых равна 1, 2 или 3.
Известно, что при любом $k$ в любом блоке из $3k$ подряд идущих цифр
каждая из цифр 1, 2, 3 встречается не больше $k+10$ раз. Докажите, что
существует блок из нескольких подряд идущих цифр, в котором цифр каждого
из видов поровну.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что при любом вещественном $\alpha > 0$ число $[\alpha n^2]$
четно для бесконечного множества натуральных $n$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Барон Мюнхгаузен хвастается, что знает замечательный квадратный
трехчлен с положительными коэффициентами: он сам имеет целый корень; если
ко всем его коэффициентам прибавить по единице, то полученный трехчлен
снова будет иметь целый корень; если второй раз прибавить ко всем
коэффициентам по единице, то и этот трехчлен будет иметь целый корень. Не
обманывает ли барон?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Дано натуральное число $n$. Известно, что существуют такие 2010
последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на $n$,
но их произведение кратно $n$. Докажите, что существуют такие 2004
последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на $n$,
но их произведение кратно $n$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$
пересекаются в точке $P$, а продолжения сторон $AD$ и $BC$ — в точке
$Q$. Докажите, что расстояние между ортоцентрами треугольников $APD$ и
$AQB$ равно расстоянию между ортоцентрами треугольников $CQD$ и $BPC$.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. В стране учатся $4^{9}$ школьников, живущих в четырех городах.
В конце учебного года правительство провело ЕГЭ по 9
предметам, за каждый из которых каждый ученик получил 1 балл, 2 балла, 3
балла или 4 балла. Известно, что у любых двух учеников отметки хотя бы по
одному предмету отличаются. При этом оказалось, что у любых двух учеников,
живущих в одном городе, совпадают отметки хотя бы по одному предмету.
Докажите, что найдется такой предмет, что у любых двух детей, живущих в
одном городе, совпадают отметки именно по этому предмету.
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение