қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2010 жыл
Есеп №1. Саша және Дима $100\times 100$ тақтасында ойын ойнап жатыр. Ойынның басында, Саша 50 тор көзін таңдап, олардың әрқайсысына бір корольдан қойып шығады. Кейін, Дима бос торлардың біреуін таңдап оған бір ладьяны қойды. Одан кейін, ойыншылар кезектесіп жүреді (Саша бастайды). Әрбір өзінің жүрісімен Саша корольдардың әрқайсысын оған қабырға бойынша немесе бұрыш бойынша көршілес орналасқан торларға ауыстырады, ал Дима әрбір өзінің жүрісімен ладьяны горизонталь немесе вертикаль бойынша кез келген торлар санына ауыстырады. Ладья корольден «секіре» алмайды және оны «ұра» алмайды. Саша ерте ме, кеш пе корольмен ладьяны ұра алатындай, жүрістер жасай ала ма?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $H$ нүктесі $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының ортоцентрі. $BC$ қабырғасының ішінен $D$ нүктесі алынды. $ADPH$ параллелограм болатындай, $P$ нүктесі салынды. $\angle DCP < \angle BHP$ екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Шеңбер бойымен әрқайсысы 1, 2 немесе 3-ке тең 2010 цифралар тұр. Кез келген $k$ үшін, қатар келе жатқан $3k$ саннан тұратын блокта 1, 2, 3 сандардың әрқайсысы $k+10$ реттен артық емес кездеседі. Әрбір түрлі сандар саны бірдей болатын, қатар келе жатқан сандары бар блок бар екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Шексіз натурал $n$ сандарының жиыны үшін, кез келген нақты $\alpha > 0$ санында $\left[ \alpha {{n}^{2}} \right]$ саны жұп екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Барон Мюнхгаузен оң коэффициенттері бар, керемет квадрат үшмүше білетінімен мақтанады:алғашқы үшмүшенің бүтін түбірі бар; егер оның барлық коэффициенттеріне бірді қосса, пайда болған үшмүшеде түбір бар болады; егер екінші рет осы үшмүшенің коэффициенттеріне бірді қосса үшмүшеде бүтін түбір болады.Барон өтірік айтып тұр ма?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $n$ натурал саны берілсін. Ешқайсысы $n$-ге бөлінбейтін, алайда көбейтіндісі $n$-ге бөлінетін қатар келе жатқан 2010 натурал сандар бар екені белгілі. Ешқайсысы $n$-ге бөлінбейтін, алайда көбейтіндісі $n$-ге бөлінетін қатар келе жатқан 2014 натурал сандар бар екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $AB$ және $CD$ қабырғаларының созындылары $P$ нүктесінде, ал $AD$ және $BC$ қабырғаларының созындылары $Q$ нүктесінде қиылысады. $APD$ және $AQB$ үшбұрыштарының ортоцентрлері арасындағы арақашықтық пен $CQD$ және $BPC$ үшбұрыштарының ортоцентрлері арасындағы арақашықтық бердей екенін дәлелдеңіз.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Мемлекетте, төрт қалада тұратын ${{4}^{9}}$ оқушы бар. Оқу жылының соңында үкімет 9 пән бойынша, ұлттық бірыңғай экзаменін ұйымдастырды, әрбір пән бойынша әрбір оқушы 1 балл, 3 балл және 4 балл алатындай. Кез келген екі оқушыда кем дегенде бір пән бойынша баға өзгеше екені белгілі. Сонымен қатар, бір қалада тұратын екі оқушыда, кем дегенде бір пән бойынша баға өзгеше екені анықталды. Бір қалада тұратын кез келген екі оқушының бір пән бойынша бағалары бірдей болатындай пән бар екенін дәлелдеңіз.
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение