Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2018 год

Задача №1. На плоскости нарисованы графики трех квадратных трехчленов. Могло ли так случиться, что первые два графика пересекаются в точках с абсциссами 1 и 4, второй и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 2 и 5, а первый и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 3 и 6? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. На доске

$100\times 100$ стоят 2550 ладей и

$k$ фишек. Ладьи не бьют сквозь фишки. При каком наименьшем

$k$ ладьи могут не бить друг друга? ( Н. Власова )
комментарий/решение(1)

Задача №3. а стороне

$AB$ треугольника

$ABC$ выбрана точка

$P$ , а на сторонах

$AC$ и

$BC$ точки

$S$ и

$T$ таким образом, что

$AP=AS$ и

$BP=BT$ . Описанная окружность треугольника

$PST$ вторично пересекает стороны

$AB$ и

$BC$ в точках

$Q$ и

$R$ соответственно. Прямые

$PS$ и

$QR$ пересекаются в точке

$L$ . Докажите, что прямая

$CL$ делит отрезок

$PQ$ пополам. ( А. Антропов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что для любых натуральных

$d > 1$ и

$m$ в последовательности

$a_n = 2^{2^n}+ d$ найдутся два числа

$a_k$ и

$a_\ell$ (

$k\ne \ell$ ), у которых наибольший общий делитель больше

$m$ . ( T. Hakobyan )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дано натуральное число

$n$ и простое число

$p$ . Оказалось, что произведение

$(1^3+1)(2^3+1)\ldots ((n-1)^3+1)(n^3+1)$ делится на

$p^3$ . Докажите, что

$p\leq n+1$ . ( Z. Luria )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Докажите, что при

$x$ ,

$y$ ,

$z\geq 1$ выполнено неравенство

$(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y) \geq 720(xy+yz+xz).$ ( К. Кохась )
комментарий/решение(2)

Задача №7. В школе три седьмых класса по

$M$ учеников в каждом. Каждый семиклассник знаком по крайней мере с

${3\over 4} M$ семиклассниками из каждого из остальных классов. Докажите, что школа может послать на олимпиаду

$M$ команд, каждая из которых состоит из трех знакомых друг с другом семиклассников, которые учатся в трех разных классах. ( R. Martin, C. Magyar )
комментарий/решение

Задача №8. Четырехугольник

$ABCD$ , диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке

$O$ . Касательные к этой окружности в точках

$A$ и

$C$ вместе с прямой

$BD$ образуют треугольник

$\Delta$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$BOD$ и

$\Delta$ касаются. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)

результаты