қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2018 год
Задача №1. На плоскости нарисованы графики трех квадратных трехчленов.
Могло ли так случиться, что первые два графика пересекаются в точках с абсциссами 1 и 4,
второй и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 2 и 5,
а первый и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 3 и 6?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. На доске $100\times 100$ стоят 2550 ладей и $k$ фишек. Ладьи не бьют
сквозь фишки. При каком наименьшем $k$ ладьи могут не бить друг друга?
(
Н. Власова
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. а стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $P$, а на сторонах $AC$
и $BC$ точки $S$ и $T$ таким образом, что $AP=AS$ и $BP=BT$. Описанная
окружность треугольника $PST$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в
точках $Q$ и $R$ соответственно. Прямые $PS$ и $QR$ пересекаются в точке
$L$. Докажите, что прямая $CL$ делит отрезок $PQ$ пополам.
(
А. Антропов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что для любых натуральных $d > 1$ и $m$
в последовательности $a_n = 2^{2^n}+ d$ найдутся два числа
$a_k$ и $a_\ell$ ($k\ne \ell$), у которых наибольший общий делитель
больше $m$.
(
T. Hakobyan
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Дано натуральное число $n$ и простое число $p$. Оказалось, что произведение $(1^3+1)(2^3+1)\ldots ((n-1)^3+1)(n^3+1)$ делится на $p^3$. Докажите, что $p\leq n+1$.
(
Z. Luria
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Докажите, что при $x$, $y$, $z\geq 1$ выполнено неравенство $(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y) \geq 720(xy+yz+xz).$
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. В школе три седьмых класса по $M$ учеников в каждом.
Каждый семиклассник знаком по крайней мере с ${3\over 4} M$ семиклассниками
из каждого из остальных классов.
Докажите, что школа может послать на олимпиаду $M$ команд,
каждая из которых состоит из трех знакомых друг с другом семиклассников,
которые учатся в трех разных классах.
(
R. Martin,
C. Magyar
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны,
вписан в окружность с центром в точке $O$. Касательные к этой окружности в точках
$A$ и $C$ вместе с прямой $BD$ образуют треугольник $\Delta$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $BOD$ и $\Delta$ касаются.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)