қазақша
русскийН. Власова
Задача №1. Имеется клетчатая доска размером $2n \times 2n$. Петя поставил на неё ${(n+1)^2}$ фишек. Кот может одним взмахом лапы смахнуть на пол любую одну фишку или две фишки, стоящие в соседних по стороне или углу клетках. За какое наименьшее количество взмахов кот заведомо сможет смахнуть на пол все поставленные Петей фишки? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. На доске $100\times 100$ стоят 2550 ладей и $k$ фишек. Ладьи не бьют сквозь фишки. При каком наименьшем $k$ ладьи могут не бить друг друга? ( Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. На доске $100\times 100$ стоят 2551 ладей и $k$ фишек. Ладьи не бьют сквозь фишки. При каком наименьшем $k$ ладьи могут не бить друг друга? ( Н. Власова )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4. На столе лежат 99 одинаковых с виду шаров, 50 из них — медные, и 49 — цинковые. Лаборант пронумеровал шары. За одну проверку на спектрометре можно выяснить, сделаны ли положенные в него два шара одного и того же металла. Но результаты выдаются только на следующий день. За какое минимальное число проверок можно узнать, из какого металла сделал каждый шар, если надо все проверки провести сегодня? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. Андрей, Боря, Витя и Гена играют на доске $1000\times 1000$. Ходят по очереди — сначала Андрей, потом Боря, затем Витя и наконец Гена, затем снова Андрей и т.д. Каждым ходом игрок должен закрасить еще незакрашенные клетки, образующие прямоугольник $2\times 1$, $1\times 2$, $1\times 3$ или $3\times 1$. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Докажите, что какие-то трое ребят могут договориться и играть так, чтобы оставшийся заведомо проиграл. ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6. В автобусе ехали мужчины и женщины, всего 32 человека. Каждый из пассажиров знаком ровно с одним мужчиной и ровно с одной женщиной из остальных. $N$ пассажиров одновременно узнали некоторую новость. Далее каждую минуту новость узнавал от кого-то из своих знакомых ещё один пассажир, причём если это была женщина, то новость в этот момент уже знали оба её знакомых. Через несколько минут оказалось, что новость знают все пассажиры. При каком наименьшем $N$ такое могло случиться? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7. Петя и Вася играют в игру. Вася кладёт в ряд 150 монет: некоторые «орлом» вверх, некоторые — «решкой». Петя своим ходом может показать на любые три лежащие подряд монеты, после чего Вася обязан перевернуть какие-то две монеты из этих трёх по своему выбору. Петя хочет, чтобы как можно больше монет лежали «решкой» вверх, а Вася хочет ему помешать. При каком наибольшем $k$ Петя сможет независимо от действий Васи добиться того, чтобы хотя бы $k$ монет лежали «решкой» вверх? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8. Несколько команд сыграли турнир в один круг, причём ничьих не было. Оказалось, что среди любых 100 команд есть команда, выигравшая у всех остальных 99 команд, но нет команды, проигравшей всем остальным 99 командам. Какое наибольшее число команд могло участвовать в турнире? ( К. Тыщук, Н. Власова, В. Мигрин )
комментарий/решение(1) олимпиада