Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур регионального этапа

Задача №1. Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Числа

$x$ и

$y,$ не равные 0, удовлетворяют неравенствам

${x^2-x > y^2}$ и

${y^2-y > x^2.}$ Какой знак может иметь произведение

$xy$ (укажите все возможности)? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. В группе из 79 школьников у каждого не более 39 знакомых, причем у любого мальчика есть знакомая девочка, а у любой девочки — знакомый мальчик. Может ли оказаться, что все девочки из этой группы имеют в ней поровну знакомых мальчиков, а все мальчики — поровну знакомых девочек? Все знакомства — взаимные. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Петя и Вася играют в игру. Вася кладёт в ряд 150 монет: некоторые «орлом» вверх, некоторые — «решкой». Петя своим ходом может показать на любые три лежащие подряд монеты, после чего Вася обязан перевернуть какие-то две монеты из этих трёх по своему выбору. Петя хочет, чтобы как можно больше монет лежали «решкой» вверх, а Вася хочет ему помешать. При каком наибольшем

$k$ Петя сможет независимо от действий Васи добиться того, чтобы хотя бы

$k$ монет лежали «решкой» вверх? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1)

Задача №5.

$CL$ — биссектриса треугольника

$ABC.$

$CLBK$ — параллелограмм. Прямая

$AK$ пересекает отрезок

$CL$ в точке

$P.$ Оказалось, что точка

$P$ равноудалена от диагоналей параллелограмма

$CLBK.$ Докажите, что

$AK \ge CL.$ ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)