Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


x және y сандары үшін x2x>y2 және y2y>x2 теңсіздіктері орындалады. xy көбейтіндісінің таңбасы қандай болуы мүмкін? Барлық мүмкін жағдайды көрсетіңіз. ( Н. Агаханов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Знак плюс.
Решение. I Сложив данные неравенства, получим: x+y<0(). Перемножив их (это можно делать, так как правые части неотрицательны) получим: xy(1xy)>x2y2. Стало быть, xy(1xy)>0. Выражение в скобках положительно в силу неравенства (), поэтому и произведение xy положительно.
Решение. II Пусть одно из чисел (для определенности x) положительно. Тогда из первого неравенства в условии получаем x2>x2x>y20 и, значит, x>|y|. Следовательно, по второму неравенству из условия y2+x>y2+|y|y2y>x2, поэтому y2>x2x, что противоречит первому неравенству. Таким образом, наше предположение неверно и среди чисел x и y нет положительных. А значит, они оба отрицательны и xy>0.

пред. Правка 2   1
8 месяца 3 дней назад #