Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур регионального этапа


Числа x и y, не равные 0, удовлетворяют неравенствам x2x>y2 и y2y>x2. Какой знак может иметь произведение xy (укажите все возможности)? ( Н. Агаханов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Знак плюс.
Решение. I Сложив данные неравенства, получим: x+y<0(). Перемножив их (это можно делать, так как правые части неотрицательны) получим: xy(1xy)>x2y2. Стало быть, xy(1xy)>0. Выражение в скобках положительно в силу неравенства (), поэтому и произведение xy положительно.
Решение. II Пусть одно из чисел (для определенности x) положительно. Тогда из первого неравенства в условии получаем x2>x2x>y20 и, значит, x>|y|. Следовательно, по второму неравенству из условия y2+x>y2+|y|y2y>x2, поэтому y2>x2x, что противоречит первому неравенству. Таким образом, наше предположение неверно и среди чисел x и y нет положительных. А значит, они оба отрицательны и xy>0.

пред. Правка 2   1
8 месяца 5 дней назад #