Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. Знак плюс.
Решение. I Сложив данные неравенства, получим: x+y<0(∗). Перемножив их (это можно делать, так как правые части неотрицательны) получим: xy(1−x−y)>x2y2. Стало быть, xy(1−x−y)>0. Выражение в скобках положительно в силу неравенства (∗), поэтому и произведение xy положительно.
Решение. II Пусть одно из чисел (для определенности x) положительно. Тогда из первого неравенства в условии получаем x2>x2−x>y2≥0 и, значит, x>|y|. Следовательно, по второму неравенству из условия y2+x>y2+|y|≥y2−y>x2, поэтому y2>x2−x, что противоречит первому неравенству. Таким образом, наше предположение неверно и среди чисел x и y нет положительных. А значит, они оба отрицательны и xy>0.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.