қазақша
русскийЭйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры
Есеп №1. 1000000-нан үлкен натурал санды 40-қа бөлгенде де, 125-ке бөлгенде де пайда болған қалдықтар бірдей болған. Осы натурал санның жүздік разрядтағы цифры нешеге тең болуы мүмкін?
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $x$ және $y$ сандары үшін $x^2-x > y^2$ және $y^2-y > x^2$ теңсіздіктері орындалады. $xy$ көбейтіндісінің таңбасы қандай болуы мүмкін? Барлық мүмкін жағдайды көрсетіңіз.
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. 79 оқушыдан тұратын топта әр оқушының 39 көп емес танысы бар, сонымен қатар әр ұл балада таныс қыз бар, ал әр қыз балада таныс ұл бар. Осы топта кез келген екі қыздың таныс ұлдар саны өзара тең, ал кез келген екі ұлдың таныс қыздар саны өзара тең болуы мүмкін бе? (Егер бірінші оқушы екінші оқушымен таныс болса, онда екінші оқушы да бірінші оқушымен таныс деп есептеңдер.)
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Петя мен Вася келесі ойын ойнауда. Вася бір қатарға 150 тиынды тізіп шығады: олардың кейбіреулерін «бүк»-пен жоғары қаратып, кейбіреулерін «шік»-пен жоғары қаратып қояды. Петя өз жүрісінде кез келген қатар орналасқан үш тиынды көрсете алады, содан кейін Вася өз қалауынша осы үш тиынның екеуін аударуы керек. Петя тиындардың мүмкін болғанша көбірегі «шік»-пен жоғары қарап жатқанын қалайды, ал Вася оған кедергі жасағысы келеді. $k$ санының қандай ең үлкен мәнінде, Петя Васяның жүрісіне қарамастан, кемінде $k$ тиын «шік»-пен жоғары қарайтындай етіп жасай алады?
(
С. Берлов,
Н. Власова
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышында $CL$ — биссектриса. $CLBK$ — параллелограмм. $AK$ түзуі $CL$ кесіндісін $P$ нүктесінде қияды. $P$ нүктесі $CLBK$ параллелограммының диагоналдарынан бірдей қашықтықта орналасқан. $AK \ge CL$ екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)