Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур дистанционного этапа

Задача №1. Даны положительные числа

$a$ и

$b,$ удовлетворяющие условию

$a^3+ab-b^3 = (a+b)^2.$ Чему может быть равна разность

$a-b?$ ( Жюри )
комментарий/решение(1)

Задача №2. В стране Анчурии провели выборы президента. По всем избирательным участкам была разослана директива, что действующий президент Мирафлорес на каждом участке должен набрать более 95

$\%$ голосов. Для этого на всех участках выбрали ближайшее кратное 100 число, большее количества избирателей на этом участке, после чего отсчитали 95

$\%$ от этого числа и записали в протокол как проголосовавших за Мирафлореса. После подсчёта по всем участкам оказалось, что Мирафлорес набрал более 100

$\%$ голосов. Докажите, что на каком-то участке было менее 2020 избирателей. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)

Задача №3. В автобусе ехали мужчины и женщины, всего 32 человека. Каждый из пассажиров знаком ровно с одним мужчиной и ровно с одной женщиной из остальных.

$N$ пассажиров одновременно узнали некоторую новость. Далее каждую минуту новость узнавал от кого-то из своих знакомых ещё один пассажир, причём если это была женщина, то новость в этот момент уже знали оба её знакомых. Через несколько минут оказалось, что новость знают все пассажиры. При каком наименьшем

$N$ такое могло случиться? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1)

Задача №4.

$AH$ — высота равнобедренного треугольника

$ABC$

$(AB = BC).$

$HK$ — высота треугольника

$AHB.$ Оказалось, что

$4HK = AB.$ Чему могла быть равна градусная мера угла

$ABC?$ Принимаются только ответы, данные в виде целых чисел или десятичных дробей. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. У Васи есть 20 гирь, среди которых нет трёх, равных по весу. Он может разложить эти все гири как на 10, так и на 11 куч с равными весами. Докажите, что у Васи найдутся две гири, веса которых различаются ровно в 4 раза. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)