қазақша
русскийМатематикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры
Есеп №1. $a$ және $b$ оң сандары үшін $a^3+ab-b^3 = (a+b)^2$ теңдігі орындалады. $a-b$ азайтындысы нешеге тең болуы мүмкін?
(
Жюри
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Анчурия елінде президент сайлауы өтті. Барлық сайлау учаскелеріне қазіргі президент Мирафлорес әр сайлау учаскесінде 95$\%$-дан астам дауыс жинауы тиіс деген директива жіберілді. Осы директиваны жүзеге асыру үшін барлық сайлау учаскелерінде, аймақтағы сайлаушылар санынан көп және 100-ге еселік жуық сан таңдалды. Содан кейін олар осы санның $95\%$-ын тауып, осылар Мирафлореске дауыс бергендер саны деп хаттама толтырды. Барлық сайлау учаскелерінде дауыстар санын санау біткенде, Мирафлорес $100\%$-дан астам дауыс жинағаны белгілі болды. Белгілі бір учаскеде 2020-ден аз сайлаушы болғанын дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. Автобуста 32 адам болған, олардың әрқайсысы немесе ер немесе әйел адам. Жолаушылардың әрқайсысы қалғандарынан дәл бір ер адамды және бір әйел адамды таниды. $N$ жолаушы бір уақытта белгілі бір жаңалықты білді. Содан кейін әр минут сайын басқа бір жолаушы жаңалықты өзінің таныстары арқылы біліп отырды. Ал егер бұл әйел адам болса, онда оның екі танысы да сол сәтте жаңалықты білетін болған. Бірнеше минуттан кейін жа-ңалықты барлық жолаушылар білген. $N$-нің қандай ең кіші мәнінде бұл жағдай болуы мүмкін?
(
С. Берлов,
Н. Власова
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $AH$ — теңбүйірлі $ABC$ $(AB = BC)$ үшбұрышының биіктігі. $HK$ — $AHB$ үшбұрышының биіктігі. Сонда $4HK = AB$ болып шыққан. $ABC$ бұрышының градустық өлшемі нешеге тең болуы мүмкін? Есепте тек бүтін градуспен немесе ондық бөлшекпен берілген жауаптар ғана қабылданады.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Васяда 20 гір бар. Олардың ішінде салмақтары бірдей болатын үш гір табылмайды. Вася осы гірлердің барлығын салмақтары бірдей болатын 10 үйірмеге де, 11 үйірмеге де бөле алады. Вася осы гірлердің ішінде салмақ-тар қатынасы дәл 4-ке тең екі гір таба алатынын дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)