Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур заключительного этапа
Задача №1. Прямые y=ax+b, y=bx+c, y=cx+d, y=dx+a ограничивают квадрат. Чему может равняться площадь этого квадрата (укажите все возможности)?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт k (k>0) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет k+1 рублей, на третий — k+2 рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие k, при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки P и Q соответственно. Отрезки CP и AQ пересекаются в точке R. Оказалось, что AR=CR=PR+QR. Докажите, что из отрезков AP, CQ и PQ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу B.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Несколько команд сыграли турнир в один круг, причём ничьих не было. Оказалось, что среди любых 100 команд есть команда, выигравшая у всех остальных 99 команд, но нет команды, проигравшей всем остальным 99 командам. Какое наибольшее число команд могло участвовать в турнире?
(
К. Тыщук,
Н. Власова,
В. Мигрин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)