Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур заключительного этапа


Задача №1.  Прямые y=ax+b, y=bx+c, y=cx+d, y=dx+a ограничивают квадрат. Чему может равняться площадь этого квадрата (укажите все возможности)? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт k (k>0) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет k+1 рублей, на третий — k+2 рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие k, при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки P и Q соответственно. Отрезки CP и AQ пересекаются в точке R. Оказалось, что AR=CR=PR+QR. Докажите, что из отрезков AP, CQ и PQ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу B. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)
Задача №4.  Несколько команд сыграли турнир в один круг, причём ничьих не было. Оказалось, что среди любых 100 команд есть команда, выигравшая у всех остальных 99 команд, но нет команды, проигравшей всем остальным 99 командам. Какое наибольшее число команд могло участвовать в турнире? ( К. Тыщук, Н. Власова, В. Мигрин )
комментарий/решение(1)
результаты