қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, I тур заключительного этапа
Задача №1. Прямые $y = ax+b,$ $y = bx+c,$ $y = cx+d,$ $y = dx+a$ ограничивают квадрат. Чему может равняться площадь этого квадрата (укажите все возможности)?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт $k$ $(k > 0)$ рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет $k+1$ рублей, на третий — $k+2$ рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие $k,$ при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки $CP$ и $AQ$ пересекаются в точке $R.$ Оказалось, что $AR = CR = PR+QR.$ Докажите, что из отрезков $AP,$ $CQ$ и $PQ$ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу $B.$
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Несколько команд сыграли турнир в один круг, причём ничьих не было. Оказалось, что среди любых 100 команд есть команда, выигравшая у всех остальных 99 команд, но нет команды, проигравшей всем остальным 99 командам. Какое наибольшее число команд могло участвовать в турнире?
(
К. Тыщук,
Н. Власова,
В. Мигрин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)