Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1.

$y = ax+b,$

$y = bx+c,$

$y = cx+d,$

$y = dx+a$ түзулері квадрат қабырғаларын шектейді. Осы квадраттың ауданы нешеге тең болуы мүмкін? Барлық мүмкін жағдайларды көрсетіңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Ажалсыз Кощей «Спёрбанк» банкінде шот ашты. Алғашында шотта 0 тг болды. Бірінші күні Кощей өз шотына

$k$

$(k > 0)$ тг салды. Ал әрбір келесі күні алдыңғы күнге қарағанда 1 тг артық салып отырған (яғни екінші күні

$k+1$ тг, үшінші күні

$k+2$ тг, т.с.с. кете береді). Бірақ әрбір салымыннан кейін, мезетте есеп шоттың жалпы мөлшері екі есе азайып отырған. Кощейдің есеп шоттындағы ақша мөлшері әрқашанда бүтін сан болып отыратындай барлық

$k$ сандарын табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$AB$ және

$BC$ қабырғаларында сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелері белгіленген.

$CP$ және

$AQ$ кесінділері

$R$ нүктесінде қиылысады.

$AR = CR = PR+QR$ екені белгілі. Бір бұрышы

$B$ бұрышына тең болатындай,

$AP,$

$CQ$ және

$PQ$ кесінділерінен үшбұрыш құрауға болатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Бірнеше командалар бір айналымды турнирде ойын ойнаған және ешқандай ойында тең нәтижелер болмаған. Кез-келген 100 команда арасында, олардың 99-ның барлығын жеңген бір команданың табылатыны, бірақ кез-келген 100 команда арасында олардың 99-ның барлығына жеңілген команда табылмайтыны белгілі. Турнирде ең көп дегенде қанша команда қатысуы мүмкін? ( К. Тыщук, Н. Власова, В. Мигрин )
комментарий/решение(1)

результаты