қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2016-2017 учебный год, 2 тур регионального этапа
Задача №1. На острове живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды все они сели по кругу, и каждый сказал: «Среди двух моих соседей есть лжец!». Затем они сели по кругу в другом порядке, и каждый сказал: «Среди двух моих соседей нет рыцаря!». Могло ли на острове быть 2017 человек?
(
Л. Самойлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектриса угла $B$ проходит через середину стороны $AD$, а $\angle C = \angle A+\angle D$. Найдите угол $ACD$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Имеется клетчатая доска размером $2n \times 2n$. Петя поставил на неё ${(n+1)^2}$ фишек. Кот может одним взмахом лапы смахнуть на пол любую одну фишку или две фишки, стоящие в соседних по стороне или углу клетках. За какое наименьшее количество взмахов кот заведомо сможет смахнуть на пол все поставленные Петей фишки?
(
С. Берлов,
Н. Власова
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На доске написано 100 натуральных чисел, среди которых ровно 33 нечетных. Каждую минуту на доску дописывается сумма всех попарных произведений всех чисел, уже находящихся на ней (например, если на доске были записаны числа 1, 2, 3, 3, то следующим ходом было дописано число $1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 3+2\cdot 3+2\cdot 3+3\cdot 3$). Можно ли утверждать, что рано или поздно на доске появится число, делящееся на $2^{10000000}$?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)