қазақша
русскийЭйлер атындағы олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры
Есеп №1. Аралда тек әрқашан да шындықты айтатын серілер мен әрқашан да өтірік айтатын өтірікшілер өмір сүреді. Бір күні олар шеңбер бойымен отырып, әрқайсысы келесі сөйлем айтты: «Менің екі көршімнің арасында өтірікші бар!». Сосын олар шеңбер бойымен басқа ретпен отырып, әрқайсысы келесі сөйлем айтты: «Менің екі көршімнің ішінде сері жоқ!». Аралда 2017 адам болуы мүмкін бе?
(
Л. Самойлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $B$ бұрышының биссектрисасы $AD$ қабырғасының ортасы арқылы өтеді, және $\angle C = \angle A+\angle D$ теңдігі орындалады. $ACD$ бұрышын табыңыздар.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Өлшемі $2n\times 2n$ болатын шаршылы тақта бар. Петя осы тақтаға ${(n+1)^2}$ фишка қойды. Мысық қолын бір рет серпігенде бір немесе көрші шаршыда тұрған (қабырға немесе төбе бойынша) екі фишканы алып тастай алады. Мысық ең аз дегенде қанша серпу арқылы Петя қойған фишкаларың барлығын кепілді түрде түсіріп тастай алады?
(
С. Берлов,
Н. Власова
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Тақтада 100 натурал сан жазылған, олардың ішінде дәл 33-ші тақ. Әр минут сайын тақтаға жазылып тұрған сандардың қос-қостан алғандағы көбейтінділердің қосындысы жазылады (мысалға, егер тақтада 1, 2, 3, 3 сандары жазылса, онда келесі минутта $1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 3+2\cdot 3+2\cdot 3+3\cdot 3$ саны жазылады). Қандай да бір уақытта, ерме ме кеш пе, тақтада $2^{10000000}$ санына бөлетін сан пайда болады деп есептеуге болады ма?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)