Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2016-2017 учебный год, 2 тур регионального этапа

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектриса угла $B$ проходит через середину стороны $AD$, а $\angle C = \angle A+\angle D$. Найдите угол $ACD$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $\angle ACD = 90^\circ$. Решение. Пусть $E$ — середина стороны $AD$, а $F$ — точка пересечения $BE$ и $AC$. Из условия имеем: $\angle B = 360^\circ -2(\angle A+\angle D)$, откуда $\angle AEB = 180^\circ -\angle A-\angle B/2 = \angle D$. Значит, $BE \parallel CD$, и $EF$ — средняя линия треугольника $ACD$, то есть $AF = FC$. Таким образом, $BF$ — биссектриса и медиана треугольника $ABC$, а, значит, и его высота. Следовательно, прямая $CD$, параллельная $BF$, также перпендикулярна $AC$, откуда и вытекает ответ.