Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год

Задача №1. Даны вещественные числа

$a\ne 0$ ,

$b$ и

$c$ . Докажите, что существует многочлен

$P(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что многочлен

$aP^2(x)+bP(x)+c$ делится на

$x^2+1$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Окружность касается стороны

$AB$ треугольника

$ABC$ в точке

$A$ , стороны

$BC$ — в точке

$P$ и пересекает сторону

$AC$ в точке

$Q$ . Прямая, симметричная

$PQ$ относительно

$AC$ , пересекает прямую

$AP$ в точке

$X$ . Докажите, что

$PC=CX$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. На доске

$100\times 100$ стоят 2551 ладей и

$k$ фишек. Ладьи не бьют сквозь фишки. При каком наименьшем

$k$ ладьи могут не бить друг друга? ( Н. Власова )
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что для любого нечетного натурального

$d > 1$ и натурального

$m$ в последовательности

$a_n = 2^{2^n}+ d$ найдутся два числа

$a_k$ и

$a_\ell$ (

$k\ne \ell$ ), у которых наибольший общий делитель больше

$m$ . ( T. Hakobyan )
комментарий/решение

Задача №5. На столе лежат 99 одинаковых с виду шаров, 50 из них — медные, и 49 — цинковые. Лаборант пронумеровал шары. За одну проверку на спектрометре можно выяснить, сделаны ли положенные в него два шара одного и того же металла. Но результаты выдаются только на следующий день. За какое минимальное число проверок можно узнать, из какого металла сделал каждый шар, если надо все проверки провести сегодня? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1)

Задача №6. На доске написаны числа 1, 2, 3,

$\ldots,$ 1024. Их разбивают на пары, потом каждую пару стирают и на её место записывают (неотрицательную) разность чисел в паре. Полученные 512 чисел снова разбивают на пары и т.д. После десяти операций на доске остаётся одно число. Чему оно может быть равно? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №7. Докажите, что при

$x$ ,

$y$ ,

$z\geq 1$ выполнено неравенство

$(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y) \geq 720(xy+yz+xz).$ ( К. Кохась )
комментарий/решение(2)

Задача №8. Четырехугольник

$ABCD$ , диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке

$O$ . Касательные к этой окружности в точках

$A$ и

$C$ вместе с прямой

$BD$ образуют треугольник

$\Delta$ . Около треугольника

$OAC$ описана окружность

$\omega$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$BOD$ и

$\Delta$ касаются и их точка касания лежит на окружности

$\omega$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

результаты