Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год
Докажите, что при x, y, z≥1 выполнено неравенство (x3+2y2+3z)(4y3+5z2+6x)(7z3+8x2+9y)≥720(xy+yz+xz).
(
К. Кохась
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
(x+2y2+3z)(4y3+5z2+6x)(7z3+8x2+9y)=28x3y3z3+35x3z5+42x4z3+56y5z3+70y2z5+84xy2z3+84y3z4+105z6+126xz4+32x5y3+40x5z2+48x6+64x2y5+80x2y2z2+96x3y2+96x2y3z+120x2z3+144x3z+36x3y6+45x3z2+54x4y+72y6+90y3z2+108xy3+108y4z+135yz3+162xyz
28x3y3z3+35x3z5+42x4z3+56y5z3+70y2z5+84xy2z3+84y3z4+126xz4+32x5y3+40x5z2+64x2y5+80x2y2z2+96x3y2+96x2y3z+120x2z3+144x3z+36x3y6+45x3z2+54x4y+90y3z2+108xy3+108y4z+135yz3+162xyz≥495xyz+390xy+507xz+543yz
По AM−GM:
48x6+72y6+105z6=7.5x6+7.5y6+40.5x6+40.5z6+64.5y6+64.5z6≥15xy+81xz+129yz
Остается доказать 495xyz≥315xy+132xz+48yz, что очевидно, т.к. x,y,z≥1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.