қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год
Задача №1. Даны вещественные числа $a\ne 0$, $b$ и $c$. Докажите, что существует
многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что многочлен $aP^2(x)+bP(x)+c$ делится на $x^2+1$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $A$, стороны $BC$ — в точке $P$ и пересекает сторону $AC$ в точке $Q$. Прямая, симметричная $PQ$ относительно $AC$, пересекает прямую $AP$ в точке $X$. Докажите, что $PC=CX$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. На доске $100\times 100$ стоят 2551 ладей и $k$ фишек. Ладьи не бьют сквозь фишки. При каком наименьшем $k$ ладьи могут не бить друг друга?
(
Н. Власова
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что для любого нечетного натурального $d > 1$ и натурального $m$
в последовательности $a_n = 2^{2^n}+ d$ найдутся два числа
$a_k$ и $a_\ell$ ($k\ne \ell$), у которых наибольший общий делитель больше $m$.
(
T. Hakobyan
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. На столе лежат 99 одинаковых с виду шаров, 50 из них — медные, и 49 — цинковые.
Лаборант пронумеровал шары.
За одну проверку на спектрометре можно выяснить, сделаны ли положенные в него два шара
одного и того же металла. Но результаты выдаются только на следующий день. За какое минимальное число проверок можно узнать, из какого металла сделал каждый шар, если надо все проверки провести сегодня?
(
С. Берлов,
Н. Власова
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На доске написаны числа 1, 2, 3, $\ldots,$ 1024. Их разбивают на пары,
потом каждую пару стирают и на её место записывают (неотрицательную)
разность чисел в паре. Полученные 512 чисел снова разбивают на пары и т.д.
После десяти операций на доске остаётся одно число. Чему оно может быть равно?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Докажите, что при $x$, $y$, $z\geq 1$ выполнено неравенство $(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y) \geq 720(xy+yz+xz).$
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №8. Четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, вписан
в окружность с центром в точке $O$. Касательные к этой окружности в точках
$A$ и $C$ вместе с прямой $BD$ образуют треугольник $\Delta$.
Около треугольника $OAC$ описана окружность $\omega$. Докажите, что
описанные окружности треугольников $BOD$ и $\Delta$ касаются
и их точка касания лежит на окружности $\omega$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)