Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год

На доске написаны числа 1, 2, 3, $\ldots,$ 1024. Их разбивают на пары, потом каждую пару стирают и на её место записывают (неотрицательную) разность чисел в паре. Полученные 512 чисел снова разбивают на пары и т.д. После десяти операций на доске остаётся одно число. Чему оно может быть равно? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Заметим, что сумма чисел всегда будет четной, т.к. изначальная сумма равна 1025*512 т.е. она четная.

Докажем, что можно получить любое четное число от 0 до 1022:

Допустим, надо получить четное число n от 0 до 1022,. В пару к числу n+2 можно выбрать единицу и в остальные пары выбрать последовательные числа. Таким образом, после первой операции останется число n+1 и 511 единиц. В конечном итоге останется число n