Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год


Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке A, стороны BC — в точке P и пересекает сторону AC в точке Q. Прямая, симметричная PQ относительно AC, пересекает прямую AP в точке X. Докажите, что PC=CX. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 7 месяца назад #

1) AB и BC касаются окружности, поэтому OAAB;OPBP

2) BAO=BPOBA=AP

3) BAP равнобедренный (следует из (2)), значит BAP=BPA

4) BPA=XPC как вертикальные

5) Рассмотрим четырёхугольник ABPO. Сумма углов в нем равна 360

OAP+ABP+BPO+POA=360

6) OAP+BPO=90+90=180 (следует из (1))

7) Из (5,6) следует, что ABP+POA=180POA=180ABP

8) POA и PQA опираются на одну дугу окружности, но при этом POA центральный, а PQA вписанный PQA=POA2=180ABP2=90ABP2=BPA

9) В силу симметрии PQ и QM относительно AC имеем PQA=MQA

10) Обобщая (9,8,7,3,4),имеем BAP=BPA=XPC=PQA=MQA

11) MQA=XQC как вертикальные

12)Так как XPC=XQC,и опираются на один отрезок XC ,то вокруг PXCQ можно описать окружность

13) Из (12) следует PQX=PCX как опирающиеся на одну дугу PX

14) PCX=PQX=180PQAXQC=180BAPBPA=ABP

15) Из (14) и (4) следует подобие ABPPCXCPX=CXPPC=CX

  1
2 года 10 месяца назад #

Обозначим точку симметричную P относительно AC как P и окружность касающуюся сторону BC в точке P и сторону AB в точке A как ω

Получается: PQA=PQA=CQX

Так как BC- касательная к окружности ω: PQA=BPA=CPX

Следовательно PQCX-вписанный и следовательно: PQA=CXP=CPX

Получается PC=CX, ч.т.д.