Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год
Комментарий/решение:
1) AB и BC касаются окружности, поэтому OA⊥AB;OP⊥BP
2) △BAO=△BPO→BA=AP
3) △BAP− равнобедренный (следует из (2)), значит ∠BAP=∠BPA
4) ∠BPA=∠XPC как вертикальные
5) Рассмотрим четырёхугольник ABPO. Сумма углов в нем равна 360∘
∠OAP+∠ABP+∠BPO+∠POA=360∘
6) ∠OAP+∠BPO=90∘+90∘=180∘ (следует из (1))
7) Из (5,6) следует, что ∠ABP+∠POA=180∘→∠POA=180∘−∠ABP
8) ∠POA и ∠PQA опираются на одну дугу окружности, но при этом ∠POA− центральный, а ∠PQA− вписанный →∠PQA=∠POA2=180∘−∠ABP2=90∘−∠ABP2=∠BPA
9) В силу симметрии PQ и QM относительно AC имеем ∠PQA=∠MQA
10) Обобщая (9,8,7,3,4),имеем ∠BAP=∠BPA=∠XPC=∠PQA=∠MQA
11) ∠MQA=∠XQC как вертикальные
12)Так как ∠XPC=∠XQC,и опираются на один отрезок XC ,то вокруг PXCQ− можно описать окружность
13) Из (12) следует ∠PQX=∠PCX как опирающиеся на одну дугу PX
14) ∠PCX=∠PQX=180∘−∠PQA−∠XQC=180∘−∠BAP−∠BPA=∠ABP
15) Из (14) и (4) следует подобие △ABP∼△PCX→∠CPX=∠CXP→PC=CX
Обозначим точку симметричную P относительно AC как P′ и окружность касающуюся сторону BC в точке P и сторону AB в точке A как ω
Получается: ∠PQA=∠P′QA=∠CQX
Так как BC- касательная к окружности ω: ∠PQA=∠BPA=∠CPX
Следовательно PQCX-вписанный и следовательно: ∠PQA=∠CXP=∠CPX
Получается PC=CX, ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.