Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2018 год

Четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке $O$. Касательные к этой окружности в точках $A$ и $C$ вместе с прямой $BD$ образуют треугольник $\Delta$. Около треугольника $OAC$ описана окружность $\omega$. Докажите, что описанные окружности треугольников $BOD$ и $\Delta$ касаются и их точка касания лежит на окружности $\omega$. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

$E$- пересечение касательной из $A$ и $BD$, $F$ - пересечение касательной из $C$ и $BD$. $T$ - пересечение касательных из $A$ и $C$, $R$ - пересечение диагоналей $AC$ и $BD$, $M$ - середина $AC$, $r$ - радиус $(ABCD)$. $EF\bot BD\bot OT$, поэтому $(EFT)$ касается $OT$ ($(BOD)$ тоже касается $OT$). Достаточно проверить, что $OT=2\sqrt{R_{BOD}R_{EFT}}$:

$$R_{BOD}=\frac{r}{2\sin\angle OBD}=\frac{r^2}{2MR},$$

$$R_{EFT}=\frac{TF}{2\sin \angle TEF}=\frac{TF^2}{2MR},$$

$$2\sqrt{R_{BOD}R_{EFT}}=\frac{r\cdot TF}{MR}=\frac{r\cdot CT}{CM}=\frac{OT\cdot CT}{CT}=OT.$$

Пусть они касаются в $Q$, тогда $\angle OQT=90^\circ$, значит $Q\in \omega$.