Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2018 год

На плоскости нарисованы графики трех квадратных трехчленов. Могло ли так случиться, что первые два графика пересекаются в точках с абсциссами 1 и 4, второй и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 2 и 5, а первый и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 3 и 6? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

$$f_i(x)=a_ix^2+b_ix+c_i, \quad i=1,2,3$$

$$f_1(1)=f_2(1), \quad f_1(4)=f_2(4) \Rightarrow f_1(x)-f_2(x)=(a_1-a_2)(x-1)(x-4)$$

$$f_2(2)=f_3(2), \quad f_2(5)=f_3(5) \Rightarrow f_2(x)-f_3(x)=(a_2-a_1)(x-2)(x-5)$$

$$f_3(3)=f_1(3), \quad f_3(6)=f_3(6) \Rightarrow f_3(x)-f_1(x)=(a_3-a_1)(x-3)(x-6)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \forall x \in R:(a_1-a_2)(x-1)(x-4)+(a_2-a_3)(x-2)(x-5)+(a_3-a_1)(x-3)(x-6)=0$$

$$\Rightarrow a_1=a_2=a_3=0$$