Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур дистанционного этапа

1-ден 1000000-ға дейінгі сандарды он оннан 100000 топқа бөлді (яғни әр топта $10a+1$ санынан $10a+10$ санына дейінгі сандар бар). Кейін әр топтағы бір санды қызыл түске, ал екінші санды жасыл түске бояды. Бірдей түсті сандардың қосындылары бірдей болатын бірдей мөлшерде (бірдей түсті сандардың жалпы саны 50-ден аспайтын) бірнеше қызыл және бірнеше жасыл қызыл санды таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Рассмотрим первую тысячу десятков и разобьем ее на 500 первых десятков и 500 следующих. В первых 500 десятках рассмотрим 499 пар, состоящие из красного числа и зеленого в следующем десятке. Заме тим, что в каждой паре разность зеленого и красного чисел положительна и меньше 20. По принципу Дирихле найдется 20 пар с одинаковой разностью, равной 0 < a< 20. Аналогично, если в первом десятке брать зеленое

число и

красное в следующем десятке, во второй пятисотке десятков найдется 20 пар с одинаковой разностью красного и зеленого, равной 0<a< 20. Тогда, если выбрать в пар из первого десятка пар второго, будет выбрано по а + 6 < 40 чисел каждого цвета, а сумма их разностей (если из красного всегда вычитать зелёное) будет равна 0.