қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур дистанционного этапа
Задача №1. Сегодня у меня и моей сестры день рождения. Вместе нам 26 лет, причем сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда, когда нам вместе будет в пять раз больше лет, чем мне сейчас. Сколько сейчас лет моей сестре?
(
Районный тур Одесской математической олимпиады 1991/92 года
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке $I$. Докажите, что каждое из расстояний от точки $I$ до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. В каждой клетке шахматной доски стоит нуль. Петя и Вася играют в игру. Ходят по очереди, начинает Петя. Петя каждым своим ходом выбирает какой-то квадрат из четырех клеток и к каждому из чисел, стоящих в этом квадрате, прибавляет нуль или единицу, по своему выбору (выбор для каждой из четырех клеток совершается отдельно, то есть может случиться, что в некоторых клетках прибавляется нуль, а в некоторых — единица). Вася своим ходом выбирает какую-то клетку и прибавляет к стоящему в ней числу нуль или единицу, по своему выбору. Петя хочет, чтобы после 2024-го хода (т. е., после того как он и Вася сделают по 1012 ходов) на доске было как можно больше нечетных чисел. Какое наибольшее количество нечетных чисел он может получить независимо от действий Васи?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ таковы, что $x+y+z+t = 0$. Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10000, может принимать число $(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)?$
(
С. Берлов,
Л. Самойлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Числа от 1 до 1000000 разбили на 100000 десятков (то есть групп от $10a+1$ до $10a+10$) и в каждом десятке покрасили одно число в красный цвет, а другое в зелёный. Докажите, что можно выбрать несколько (не более 50) красных чисел и столько же зелёных чисел так, чтобы сумма выбранных красных чисел была равна сумме выбранных зелёных.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение