Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур дистанционного этапа

Есеп №1. Бүгін менің және менің қарындасымның туған күні. Біздің жастарымыздың қосындысы 26-ға тең. Екеуміздің жастарымыздың қосындысы менің қазіргі жасымнан 5 есе артық болған кездегі менің жасым қазіргі кездегі қарындасымның жасынан 3 есе артық. Қазір қарындасымның жасы нешеде? ( Районный тур Одесской математической олимпиады 1991/92 года )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Теңбүйірлі емес үшбұрыштың биссектрисалары $I$ нүктесінде қиылысады. $I$ нүктесінен үшбұрыштың әр төбесіне дейінгі қашықтық үшбұрыштың ортаңғы қабырғасының ұзындығынан кіші екенін дәлелдеңіз. ( И. Рубанов )
комментарий/решение

Есеп №3. Бастапқыда $8\times 8$ шахмат тақтасының әр ұяшығында 0 саны жазылған. Петя мен Вася ойын ойнауда. Олар кезектесіп жүреді, жүрісті Петя бастайды. Петя өз жүрісінде төрт ұяшықтан құралған қандай да бір шаршыны таңдап, осы шаршыдағы әр санға өзінің қалауынша 0-ді немесе 1-ді қосады (төрт санның әрқайсысына 0-ді немесе 1-ді қосу таңдауы жеке-жеке жүреді). Вася өз жүрісінде қандай бір ұяшықты таңдап, сол ұяшықтағы санға өзінің қалауынша 0-ді немесе 1-ді қосады. Петя 2024-жүрістен кейін (яғни әр бала 1012 рет жүргеннен кейін) тақтада таң сандар барынша көп болғанын қалайды. Васяның жүрісіне қарамастан Петя ең көп дегенде неше тақ сан болғанын қамтымасыз ете алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №4. Бүтін $x$, $y$, $z$, $t$ сандары үшін $x+y+z+t = 0$ теңдігі орындалады. $(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)$ өрнегі 10000-нан аспайтын неше әртүрлі натурал мәндерді қабылдай алады? ( С. Берлов, Л. Самойлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. 1-ден 1000000-ға дейінгі сандарды он оннан 100000 топқа бөлді (яғни әр топта $10a+1$ санынан $10a+10$ санына дейінгі сандар бар). Кейін әр топтағы бір санды қызыл түске, ал екінші санды жасыл түске бояды. Бірдей түсті сандардың қосындылары бірдей болатын бірдей мөлшерде (бірдей түсті сандардың жалпы саны 50-ден аспайтын) бірнеше қызыл және бірнеше жасыл қызыл санды таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение