Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур дистанционного этапа

Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке $I$. Докажите, что каждое из расстояний от точки $I$ до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Рассмотрим наш треугольник ABC. И проведем AI, BI, CI. Получим 3 треугольника - AIB, BIC, AIC. Пусть углы треугольникa будут х,у,z. x+y+z=180; но так как углы делятся пополам от биссектрисы, в каждом из 3 треугольников острые углы будут: (х+у)/2; (x+z)/2; (y+z)/2 - все они меньше 90 градусов. Но тогда углы AIB, BIC, AIC - больше 90 градусов. Значит эти 3 треугольника - тупоугольные. Так как ABC - неравнобедренный, то мы можем сказать что AB>BC>AC(пусть). Тогда BC - средняя по величине сторона. Треугольник BIC: BC>BI;CI. Треугольник AIC: AC>AI, но BC>AC => BC>AI => доказано