Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур дистанционного этапа

Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ таковы, что $x+y+z+t = 0$. Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10000, может принимать число $(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)?$ ( С. Берлов, Л. Самойлов )

Комментарий/решение

$t = -(x + y + z)$

$xy - zt = xy + zx + zy + z² = (x + z)(y + z)$

$xz - yt = xz + yx + y² + yz = (x + y)(y + z)$

$yz - xt = yz + x² + xy + xz = (x + z)(x + y)$

$(xy - zt)(xz - yt)(yz - xt) = (x + z)(y + z)(x + y)(y + z)(x + z)(x + y) = ((x + y)(x + z)(y + z))² ≤ 10000$,

$(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 100$

И здесь очевидно что один из $(x + y)(x + z)(y + z)$ четный. Потому что если $x$ нечетный и 1) $y$ нечетный то $x+y$ четный;2) если $y$ четный и $z$ 1) четный то $y+z$ четный если 2). $z$ нечетный $x+z$ четный. Аналогично если $x$ четный значить $(x + y)(x + z)(y + z)$ четный. Четных чисел до сто 50. Ответ:50