Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур дистанционного этапа

Бастапқыда $8\times 8$ шахмат тақтасының әр ұяшығында 0 саны жазылған. Петя мен Вася ойын ойнауда. Олар кезектесіп жүреді, жүрісті Петя бастайды. Петя өз жүрісінде төрт ұяшықтан құралған қандай да бір шаршыны таңдап, осы шаршыдағы әр санға өзінің қалауынша 0-ді немесе 1-ді қосады (төрт санның әрқайсысына 0-ді немесе 1-ді қосу таңдауы жеке-жеке жүреді). Вася өз жүрісінде қандай бір ұяшықты таңдап, сол ұяшықтағы санға өзінің қалауынша 0-ді немесе 1-ді қосады. Петя 2024-жүрістен кейін (яғни әр бала 1012 рет жүргеннен кейін) тақтада таң сандар барынша көп болғанын қалайды. Васяның жүрісіне қарамастан Петя ең көп дегенде неше тақ сан болғанын қамтымасыз ете алады? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Ответ: 48

Поделим доску на 16 квадратов 2×2. Петя свои первые 16 ходов будет делать каждый квадраты нечетными, а Вася свои 16 ходов портить одну из нечетных клеток так, что меж. другими четными Васей клетками, расстояние в одну диагональную клетку. После 32 ходов, Петя остаётся лишь делать клетки, испорченные Васей обратно нечетными, при этом, он может за ход заделать лишь одну из-за расстояния меж. чет. клетками, а Васей обратно на местах заделанные Петей ставить чет. клетки. Выходит, что: 16×4-16×1=48

32 - чет число, 2024 тоже, значит последний ход делает Вася, сделав 48 клеток.