Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур дистанционного этапа

В каждой клетке шахматной доски стоит нуль. Петя и Вася играют в игру. Ходят по очереди, начинает Петя. Петя каждым своим ходом выбирает какой-то квадрат из четырех клеток и к каждому из чисел, стоящих в этом квадрате, прибавляет нуль или единицу, по своему выбору (выбор для каждой из четырех клеток совершается отдельно, то есть может случиться, что в некоторых клетках прибавляется нуль, а в некоторых — единица). Вася своим ходом выбирает какую-то клетку и прибавляет к стоящему в ней числу нуль или единицу, по своему выбору. Петя хочет, чтобы после 2024-го хода (т. е., после того как он и Вася сделают по 1012 ходов) на доске было как можно больше нечетных чисел. Какое наибольшее количество нечетных чисел он может получить независимо от действий Васи? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Ответ: 48

Поделим доску на 16 квадратов 2×2. Петя свои первые 16 ходов будет делать каждый квадраты нечетными, а Вася свои 16 ходов портить одну из нечетных клеток так, что меж. другими четными Васей клетками, расстояние в одну диагональную клетку. После 32 ходов, Петя остаётся лишь делать клетки, испорченные Васей обратно нечетными, при этом, он может за ход заделать лишь одну из-за расстояния меж. чет. клетками, а Васей обратно на местах заделанные Петей ставить чет. клетки. Выходит, что: 16×4-16×1=48

32 - чет число, 2024 тоже, значит последний ход делает Вася, сделав 48 клеток.