Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур дистанционного этапа

Задача №1. В 9:00 в путь отправился пешеход. Через час вслед ему из того же начального пункта выехал велосипедист. В 10:30 он догнал пешехода и поехал дальше, но через некоторое время велосипед сломался. Закончив ремонт, велосипедист поехал вслед пешеходу дальше и в 13:00 снова догнал его. Сколько минут занял ремонт? (Скорость пешехода постоянна, и он двигался без остановок, скорость велосипедиста тоже постоянна, и он двигался с единственным перерывом на ремонт.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Можно ли отметить несколько клеток в таблице

$9 \times 9,$ чтобы в любых двух соседних строках таблицы было отмечено не меньше 6 клеток, а в любых двух соседних столбцах — не больше 5 клеток? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №3.

$ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, где

$AB = 7,$

$BC = 4,$

$AD = DC,$

$\angle ABD = \angle DBC.$ Точка

$E$ на отрезке

$AB$ такова, что

$\angle DEB = 90^\circ.$ Найдите длину отрезка

$AE.$
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что если прямые

$y = kx+m,$

$y = mx+n$ и

$y = nx+k$ на координатной плоскости имеют общую точку, то они совпадают. ( С. Токарев )
комментарий/решение(3)

Задача №5. Даны натуральные числа

$a$ и

$b$

$(a > 1)$ , причём

$b$ делится на

$a^2.$ Кроме того, любой делитель числа

$b$ , меньший, чем, является также делителем числа

$a.$ Докажите, что у числа

$a$ не более трех различных простых делителей. ( И. Богданов, А. Голованов )
комментарий/решение(1)