Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур дистанционного этапа

$ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, где $AB = 7,$ $BC = 4,$ $AD = DC,$ $\angle ABD = \angle DBC.$ Точка $E$ на отрезке $AB$ такова, что $\angle DEB = 90^\circ.$ Найдите длину отрезка $AE.$

Комментарий/решение

Ответ. 1,5. Решение. Отложим от точки B на луче BA отрезок BF = BC. Треугольники DBF и DBC равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, DF = DC = DA, то есть DE - высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника ADF. Так как она является также и медианой, имеем

AE = AF/2 = (AB-BF)/2 = (7-4)/2 = 1,5.