қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур дистанционного этапа
Задача №1. В 9:00 в путь отправился пешеход. Через час вслед ему из того же начального пункта выехал велосипедист. В 10:30 он догнал пешехода и поехал дальше, но через некоторое время велосипед сломался. Закончив ремонт, велосипедист поехал вслед пешеходу дальше и в 13:00 снова догнал его. Сколько минут занял ремонт? (Скорость пешехода постоянна, и он двигался без остановок, скорость велосипедиста тоже постоянна, и он двигался с единственным перерывом на ремонт.)
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Можно ли отметить несколько клеток в таблице $9 \times 9,$ чтобы в любых двух соседних строках таблицы было отмечено не меньше 6 клеток, а в любых двух соседних столбцах — не больше 5 клеток?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, где $AB = 7,$ $BC = 4,$ $AD = DC,$ $\angle ABD = \angle DBC.$ Точка $E$ на отрезке $AB$ такова, что $\angle DEB = 90^\circ.$ Найдите длину отрезка $AE.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что если прямые $y = kx+m,$ $y = mx+n$ и $y = nx+k$ на координатной плоскости имеют общую точку, то они совпадают.
(
С. Токарев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Даны натуральные числа $a$ и $b$ $(a > 1)$, причём $b$ делится на $a^2.$ Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем, является также делителем числа $a.$ Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей.
(
И. Богданов,
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)