қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2006 год
Задача №1. Даны семь различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться,
что разность восьмых степеней любых двух из них делится на любое из
оставшихся чисел?
(
Ф. Петров,
К. Сухов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Бесконечную в обе стороны последовательность
назовём последовательностью фибоначчиева типа, если
каждый её член равен сумме двух предыдущих. Сколько существует различных
последовательностей фибоначчиева типа, в которых есть два соседних натуральных
члена, не превосходящих $N$? (Последовательности, отличающиеся сдвигом номеров,
мы различными не считаем.)
(
И. Певзнер
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. На плоскости даны точки $A$ и $B$, а также прямая $\ell$, проходящая
через точку $B$. Рассмотрим произвольную окружность $\omega$, касающуюся
прямой $\ell$ в точке $B$ и не содержащую внутри себя точку $A$. Касательные
к $\omega$, проведенные из точки $A$, касаются $\omega$ в точках $X$ и $Y$.
Докажите, что прямая $XY$ проходит через фиксированную точку, не зависящую
от выбора окружности $\omega$.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все функции $f\colon (0,\infty) \to (0,\infty)$,
удовлетворяющие условиям
$$ f(x+1)=f(x)+1 \quad\hbox{и}\quad
f\left({1\over f(x)}\right)={1\over x} $$
при всех положительных $x$.
(
P. Volkmann
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В чемпионате Жуликании по боксу участвуют 100 боксеров разной силы.
Каждые два боксера проводят между собой один бой. Несколько боксеров
составили заговор: каждый из них в одном из боев подложит себе
в перчатку свинцовую подкову. Если во время боя
подкова подложена ровно у одного из двух его участников,
то побеждает именно он; в противном случае побеждает сильнейший.
По итогам чемпионата нашлось три боксера, выигравших больше боев, чем любой
из трех сильнейших участников. Каким могло быть наименьшее количество
заговорщиков?
(
Н. Калинин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Точки $H$ и $M$ — ортоцентр и точка пересечения медиан остроугольного
треугольника $ABC$. Точка $B_1$ — середина дуги $AC$ описанной окружности
этого треугольника. Известно, что длина отрезка $B_1M$ равна радиусу описанной
окружности. Докажите, что $BM\geq BH$.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Из картонного клетчатого прямоугольника $n\times (n-1)$
вырезан уголок, состоящий из всех клеток первой строки и первого
столбца (всего в нем $2n-2$ клетки). Клетки бесконечной клетчатой
плоскости покрашены в $k$ цветов так, что при любом положении картонного
уголка на этой плоскости (с учетом поворотов и переворотов) все покрытые
им клетки имеют разный цвет. При каком наименьшем $k$ это возможно?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Набором показателей натурального числа назовем
неупорядоченный список показателей, с которыми простые числа входят в его разложение на
простые множители. Например, числа $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5^1$ и
$882=3^2\cdot 2^1\cdot 7^2$ имеют один и тот же набор показателей 1, 2, 2.
Две возрастающие арифметические прогрессии $(a_n)$ и $(b_n)$ таковы, что при
каждом $n$ числа $(a_n)$ и $(b_n)$ имеют одинаковые наборы показателей.
Докажите, что эти прогрессии пропорциональны.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение