Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2006 год


Задача №1.  Даны семь различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться, что разность восьмых степеней любых двух из них делится на любое из оставшихся чисел? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Бесконечную в обе стороны последовательность назовём последовательностью фибоначчиева типа, если каждый её член равен сумме двух предыдущих. Сколько существует различных последовательностей фибоначчиева типа, в которых есть два соседних натуральных члена, не превосходящих N? (Последовательности, отличающиеся сдвигом номеров, мы различными не считаем.) ( И. Певзнер )
комментарий/решение
Задача №3.  На плоскости даны точки A и B, а также прямая , проходящая через точку B. Рассмотрим произвольную окружность ω, касающуюся прямой в точке B и не содержащую внутри себя точку A. Касательные к ω, проведенные из точки A, касаются ω в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Найдите все функции f:(0,)(0,), удовлетворяющие условиям f(x+1)=f(x)+1иf(1f(x))=1x при всех положительных x. ( P. Volkmann )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В чемпионате Жуликании по боксу участвуют 100 боксеров разной силы. Каждые два боксера проводят между собой один бой. Несколько боксеров составили заговор: каждый из них в одном из боев подложит себе в перчатку свинцовую подкову. Если во время боя подкова подложена ровно у одного из двух его участников, то побеждает именно он; в противном случае побеждает сильнейший. По итогам чемпионата нашлось три боксера, выигравших больше боев, чем любой из трех сильнейших участников. Каким могло быть наименьшее количество заговорщиков? ( Н. Калинин )
комментарий/решение
Задача №6.  Точки H и M — ортоцентр и точка пересечения медиан остроугольного треугольника ABC. Точка B1 — середина дуги AC описанной окружности этого треугольника. Известно, что длина отрезка B1M равна радиусу описанной окружности. Докажите, что BMBH. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение
Задача №7.  Из картонного клетчатого прямоугольника n×(n1) вырезан уголок, состоящий из всех клеток первой строки и первого столбца (всего в нем 2n2 клетки). Клетки бесконечной клетчатой плоскости покрашены в k цветов так, что при любом положении картонного уголка на этой плоскости (с учетом поворотов и переворотов) все покрытые им клетки имеют разный цвет. При каком наименьшем k это возможно? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №8.  Набором показателей натурального числа назовем неупорядоченный список показателей, с которыми простые числа входят в его разложение на простые множители. Например, числа 180=223251 и 882=322172 имеют один и тот же набор показателей 1, 2, 2. Две возрастающие арифметические прогрессии (an) и (bn) таковы, что при каждом n числа (an) и (bn) имеют одинаковые наборы показателей. Докажите, что эти прогрессии пропорциональны. ( А. Голованов )
комментарий/решение