Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2006 год
Задача №1. Даны семь различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться,
что разность восьмых степеней любых двух из них делится на любое из
оставшихся чисел?
(
Ф. Петров,
К. Сухов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Бесконечную в обе стороны последовательность
назовём последовательностью фибоначчиева типа, если
каждый её член равен сумме двух предыдущих. Сколько существует различных
последовательностей фибоначчиева типа, в которых есть два соседних натуральных
члена, не превосходящих N? (Последовательности, отличающиеся сдвигом номеров,
мы различными не считаем.)
(
И. Певзнер
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. На плоскости даны точки A и B, а также прямая ℓ, проходящая
через точку B. Рассмотрим произвольную окружность ω, касающуюся
прямой ℓ в точке B и не содержащую внутри себя точку A. Касательные
к ω, проведенные из точки A, касаются ω в точках X и Y.
Докажите, что прямая XY проходит через фиксированную точку, не зависящую
от выбора окружности ω.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все функции f:(0,∞)→(0,∞),
удовлетворяющие условиям
f(x+1)=f(x)+1иf(1f(x))=1x
при всех положительных x.
(
P. Volkmann
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В чемпионате Жуликании по боксу участвуют 100 боксеров разной силы.
Каждые два боксера проводят между собой один бой. Несколько боксеров
составили заговор: каждый из них в одном из боев подложит себе
в перчатку свинцовую подкову. Если во время боя
подкова подложена ровно у одного из двух его участников,
то побеждает именно он; в противном случае побеждает сильнейший.
По итогам чемпионата нашлось три боксера, выигравших больше боев, чем любой
из трех сильнейших участников. Каким могло быть наименьшее количество
заговорщиков?
(
Н. Калинин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Точки H и M — ортоцентр и точка пересечения медиан остроугольного
треугольника ABC. Точка B1 — середина дуги AC описанной окружности
этого треугольника. Известно, что длина отрезка B1M равна радиусу описанной
окружности. Докажите, что BM≥BH.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Из картонного клетчатого прямоугольника n×(n−1)
вырезан уголок, состоящий из всех клеток первой строки и первого
столбца (всего в нем 2n−2 клетки). Клетки бесконечной клетчатой
плоскости покрашены в k цветов так, что при любом положении картонного
уголка на этой плоскости (с учетом поворотов и переворотов) все покрытые
им клетки имеют разный цвет. При каком наименьшем k это возможно?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Набором показателей натурального числа назовем
неупорядоченный список показателей, с которыми простые числа входят в его разложение на
простые множители. Например, числа 180=22⋅32⋅51 и
882=32⋅21⋅72 имеют один и тот же набор показателей 1, 2, 2.
Две возрастающие арифметические прогрессии (an) и (bn) таковы, что при
каждом n числа (an) и (bn) имеют одинаковые наборы показателей.
Докажите, что эти прогрессии пропорциональны.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение