Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2006 год
Комментарий/решение:
Решение: Обозначим данные равенства (1) и (2), соответственно. Из (2) f биективна. Будем называть число x хорошим, если f(y)<x∀y<x,f(y)>x∀y>x,f(x)=xУтверждение 1. число 1 хорошее.
Доказательство. Из (1) получаем, что f(x)>1∀x>1. Далее в (2) подставим x+1, тогда из сюръективности f(x)<1∀x<1. Вследствие сюръективности f(1)=1◻
Утверждение 2. Все рациональные числа хорошие.
Доказательство. Несложно видеть, что если x хороший, то 1x,x+n хорошие∀n∈N(это напрямую следует из (2) и (1)). По индукции докажем, что все дроби со знаменателем n хорошие∀n∈N.
База n=1. Очевидно
Шаг. Пусть утверждение индукции доказано для всех n<k, докажем его верность для n=k. Докажем, что дробь mk,m<k хорошая. Её можно получить из дроби km, но из шага известно, что такая дробь хорошая (знаменатель m<k) - что требовалось, ведь из такого вида дробей можно получить mk∀m∈N◻
Теперь дело за малым. Предположим, что для некоторого иррационального x имеем f(x)>x. Тогда ∃q∈Q, такое что f(x)>q>x, откуда из утверждения 2 f(x)<q - противоречие.
Аналогично, если f(x)<x⇒∃q∈Q:f(x)<q<x⇒q<f(x) невозможно. Остаётся лишь единственный вариант f(x)=x∀x∈(0,∞), который очевидно подходит
Ответ: f(x)=x∀x∈(0,∞)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.