Processing math: 100%

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2006 год


Найдите все функции f:(0,)(0,), удовлетворяющие условиям f(x+1)=f(x)+1иf(1f(x))=1x при всех положительных x. ( P. Volkmann )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   3
1 года 7 месяца назад #

Решение: Обозначим данные равенства (1) и (2), соответственно. Из (2) f биективна. Будем называть число x хорошим, если f(y)<xy<x,f(y)>xy>x,f(x)=xУтверждение 1. число 1 хорошее.

Доказательство. Из (1) получаем, что f(x)>1x>1. Далее в (2) подставим x+1, тогда из сюръективности f(x)<1x<1. Вследствие сюръективности f(1)=1

Утверждение 2. Все рациональные числа хорошие.

Доказательство. Несложно видеть, что если x хороший, то 1x,x+n хорошиеnN(это напрямую следует из (2) и (1)). По индукции докажем, что все дроби со знаменателем n хорошиеnN.

База n=1. Очевидно

Шаг. Пусть утверждение индукции доказано для всех n<k, докажем его верность для n=k. Докажем, что дробь mk,m<k хорошая. Её можно получить из дроби km, но из шага известно, что такая дробь хорошая (знаменатель m<k) - что требовалось, ведь из такого вида дробей можно получить mkmN

Теперь дело за малым. Предположим, что для некоторого иррационального x имеем f(x)>x. Тогда qQ, такое что f(x)>q>x, откуда из утверждения 2 f(x)<q - противоречие.

Аналогично, если f(x)<xqQ:f(x)<q<xq<f(x) невозможно. Остаётся лишь единственный вариант f(x)=xx(0,), который очевидно подходит

Ответ: f(x)=xx(0,)