Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2006 жыл

Есеп №1. Жеті тақ, әртүрлі жай сандар берілсін. Кез-келген екі санның сегізінші дәрежелерінінің айырмасы қалған сандардың кез-келгеніне бөлінуі мүмкін бе? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Екі бағытта да шексіз тізбекті фибоначчи типті тізбек деп атайық, егер оның әрбір мүшесі, алдыңғы екі мүшенің қосындысына тең болса.

$N$ -нен аспайтын, екі көршілес натурал мүшесі бар, неше фибоначчи типті тізбектер бар?(мүшелер қатарында айырмашылық бар тізбектерді, өзгеше деп есептемейміз) ( И. Певзнер )
комментарий/решение

Есеп №3. Жазықтықта

$A$ және

$B$ нүктелері, және де

$B$ нүктесі арқылы өтетін

$l$ түзуі берілсін.

$l$ түзуімен

$B$ нүктесінде жанасатын және

$A$ нүктесін қамтымайтын кез-келген

$\omega$ шеңбері берілісін.

$\omega$ шеңберіне

$A$ нүктесі арқылы жүргізілген жанамалар осы шеңбермен

$X$ және

$Y$ нүктелерінде жанасады.

$XY$ түзуі,

$\omega$ шеңберінің таңдалымына тәуелсіз, бекітілген нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Барлық оң

$x$ үшін, келесі шартты орындайтын, барлық

$f:(0,\infty )\to (0,\infty )$ функцияларын табыңыз:

$f(x+1)=f(x)+1$ және

$f\left( \dfrac{1}{f(x)} \right)=\dfrac{1}{x}$ . ( P. Volkmann )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Жуликанин чемпионатына, күштері әр түрлі 100 боксшы қатысады. Әрбір екі боксшы тек бір рет жекпе-жек өткізеді. Бірнеше боксшы астыртын, әрқайсысы жекпе-жектердің бірінде өзінің қолғабына корғасыннан жасалған таға салуға сөз байласады. Жекпе-жек кезінде егер екі қатысушының тек біреуінде таға болса, қолғабында тағасы бар боксшы жеңеді, ал егер екі боксшыда да таға болса, мықтысы жеңеді. Чемпионат нәтижесі бойынша, мықты үш боксшылардын кез-келгенінің жеңіс санынан артық жеңіс саны бар үш боксшы табылды. Кем дегенде, астыртын сөз байласқан боксшылардың саны қанша болуы мүмкін? ( Н. Калинин )
комментарий/решение

Есеп №6.

$H$ және

$M$ нүктелері,

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының ортоцентрі және медианалардың қиылысу нүктесі.

${{B}_{1}}$ нүктесі, осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің

$AC$ доғасының ортасы.

${{B}_{1}}M$ кесіндісінің ұзындығы сырттай сызылған шеңбердің радиусына тең екені белгілі.

$BM\ge BH$ екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение

Есеп №7.

$n\times (n-1)$ картоннан жасалған торлы тіктөртбұрыштан, бірінші жолдын барлық торларынан және бірінші бағаннан тұратын бұрышты кесіп тастады (

$2n-2$ тордан тұратын). Шексіз торлы жазықтықтың торлары

$k$ түрлі түске, картонды бұрыштың кез-келген орналасуында (айналдыру мен аударуды есептегенде) оның қамтып жатқан торлардың түстері әртүрлі болатындай боялды.

$k$ -ның қандай ең кіші мәнінде бұл мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №8. Натурал санды жай көбейткіштерге жіктегенде, әр жай санның дәрежелері реттелмеген түрде, дәрежелер жиынын құрасын. Мысалы,

$180={{2}^{2}}\cdot {{2}^{2}}\cdot {{5}^{1}}$ және

$882={{3}^{2}}\cdot {{2}^{1}}\cdot {{7}^{2}}$ сандарында бірдей дәрежелер жиыны 1, 2, 2. Әрбір

$n$ үшін

$({{a}_{n}})$ және

$\left( {{b}_{n}} \right)$ сандарында бірдей дәрежелер жиыны болатындай, екі

$\left( {{a}_{n}} \right)$ және

$\left( {{b}_{n}} \right)$ , өспелі арифметикалық прогрессиялары бар. Осы екі прогрессиялар пропорционал екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение