қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2006 жыл
Есеп №1. Жеті тақ, әртүрлі жай сандар берілсін. Кез-келген екі санның сегізінші дәрежелерінінің айырмасы қалған сандардың кез-келгеніне бөлінуі мүмкін бе?
(
Ф. Петров,
К. Сухов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Екі бағытта да шексіз тізбекті фибоначчи типті тізбек деп атайық, егер оның әрбір мүшесі, алдыңғы екі мүшенің қосындысына тең болса. $N$-нен аспайтын, екі көршілес натурал мүшесі бар, неше фибоначчи типті тізбектер бар?(мүшелер қатарында айырмашылық бар тізбектерді, өзгеше деп есептемейміз)
(
И. Певзнер
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Жазықтықта $A$ және $B$ нүктелері, және де $B$ нүктесі арқылы өтетін $l$ түзуі берілсін. $l$ түзуімен $B$ нүктесінде жанасатын және $A$ нүктесін қамтымайтын кез-келген $\omega $ шеңбері берілісін. $\omega $ шеңберіне $A$ нүктесі арқылы жүргізілген жанамалар осы шеңбермен $X$ және $Y$ нүктелерінде жанасады. $XY$ түзуі, $\omega$ шеңберінің таңдалымына тәуелсіз, бекітілген нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Барлық оң $x$ үшін, келесі шартты орындайтын, барлық $f:(0,\infty )\to (0,\infty )$ функцияларын табыңыз: $f(x+1)=f(x)+1$ және $f\left( \dfrac{1}{f(x)} \right)=\dfrac{1}{x}$.
(
P. Volkmann
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Жуликанин чемпионатына, күштері әр түрлі 100 боксшы қатысады. Әрбір екі боксшы тек бір рет жекпе-жек өткізеді. Бірнеше боксшы астыртын, әрқайсысы жекпе-жектердің бірінде өзінің қолғабына корғасыннан жасалған таға салуға сөз байласады. Жекпе-жек кезінде егер екі қатысушының тек біреуінде таға болса, қолғабында тағасы бар боксшы жеңеді, ал егер екі боксшыда да таға болса, мықтысы жеңеді. Чемпионат нәтижесі бойынша, мықты үш боксшылардын кез-келгенінің жеңіс санынан артық жеңіс саны бар үш боксшы табылды. Кем дегенде, астыртын сөз байласқан боксшылардың саны қанша болуы мүмкін?
(
Н. Калинин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $H$ және $M$ нүктелері, $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының ортоцентрі және медианалардың қиылысу нүктесі. ${{B}_{1}}$ нүктесі, осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің $AC$ доғасының ортасы. ${{B}_{1}}M$ кесіндісінің ұзындығы сырттай сызылған шеңбердің радиусына тең екені белгілі. $BM\ge BH$ екенін дәлелдеңіз.
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $n\times (n-1)$ картоннан жасалған торлы тіктөртбұрыштан, бірінші жолдын барлық торларынан және бірінші бағаннан тұратын бұрышты кесіп тастады ($2n-2$ тордан тұратын). Шексіз торлы жазықтықтың торлары $k$ түрлі түске, картонды бұрыштың кез-келген орналасуында (айналдыру мен аударуды есептегенде) оның қамтып жатқан торлардың түстері әртүрлі болатындай боялды. $k$-ның қандай ең кіші мәнінде бұл мүмкін?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Натурал санды жай көбейткіштерге жіктегенде, әр жай санның дәрежелері реттелмеген түрде, дәрежелер жиынын құрасын. Мысалы, $180={{2}^{2}}\cdot {{2}^{2}}\cdot {{5}^{1}}$ және $882={{3}^{2}}\cdot {{2}^{1}}\cdot {{7}^{2}}$ сандарында бірдей дәрежелер жиыны 1, 2, 2. Әрбір $n$ үшін $({{a}_{n}})$ және $\left( {{b}_{n}} \right)$ сандарында бірдей дәрежелер жиыны болатындай, екі $\left( {{a}_{n}} \right)$ және $\left( {{b}_{n}} \right)$, өспелі арифметикалық прогрессиялары бар. Осы екі прогрессиялар пропорционал екенін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение