Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2006 год

Точки $H$ и $M$ — ортоцентр и точка пересечения медиан остроугольного треугольника $ABC$. Точка $B_1$ — середина дуги $AC$ описанной окружности этого треугольника. Известно, что длина отрезка $B_1M$ равна радиусу описанной окружности. Докажите, что $BM\geq BH$. ( Ф. Бахарев )

Комментарий/решение

Если $O$ - центр описанной окружности, известно что точки $H,M,O$ лежат на одной прямой Эйлера.

1) Если $B_1$ лежит на меньшей дуге $AC$ (cнизу), тогда $\angle BHM = \angle MOB_1$ если $G$ середина $AC$ тогда $G$ лежит между $O,B_1$ тогда

$\angle BMH = \angle OMG$ но $B_1M=\angle B_1O$ или $\angle BHM = \angle MOB_1 = \angle OMB_1 = \angle OMG + \angle GMB_1$, то есть $\angle BMH = \angle OMG \leq \angle MOB_1 = \angle BHM $ значит $BM \geq BH$ .

2) Если $B_1$ лежала на большей дуге, нужно показать что $\angle BMO \geq B_1OM$, так как $\angle BMO = \angle BMB_1 + \angle B_1MO \geq B_1MO = B_1OM$