Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2006 жыл

$H$ және $M$ нүктелері, $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының ортоцентрі және медианалардың қиылысу нүктесі. ${{B}_{1}}$ нүктесі, осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің $AC$ доғасының ортасы. ${{B}_{1}}M$ кесіндісінің ұзындығы сырттай сызылған шеңбердің радиусына тең екені белгілі. $BM\ge BH$ екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )

Комментарий/решение

Если $O$ - центр описанной окружности, известно что точки $H,M,O$ лежат на одной прямой Эйлера.

1) Если $B_1$ лежит на меньшей дуге $AC$ (cнизу), тогда $\angle BHM = \angle MOB_1$ если $G$ середина $AC$ тогда $G$ лежит между $O,B_1$ тогда

$\angle BMH = \angle OMG$ но $B_1M=\angle B_1O$ или $\angle BHM = \angle MOB_1 = \angle OMB_1 = \angle OMG + \angle GMB_1$, то есть $\angle BMH = \angle OMG \leq \angle MOB_1 = \angle BHM $ значит $BM \geq BH$ .

2) Если $B_1$ лежала на большей дуге, нужно показать что $\angle BMO \geq B_1OM$, так как $\angle BMO = \angle BMB_1 + \angle B_1MO \geq B_1MO = B_1OM$