12-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2016 год

Натуральное число $q$ назовём удобным знаменателем для вещественного числа $\alpha$, если $|\alpha-{p\over q}|<{1\over 10q}$ при некотором целом $p$. Докажите, что если у двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ множества удобных знаменателей совпадают, то $\alpha+\beta$ или $\alpha-\beta$ — целое число. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $q_1 < q_2 < \dots$ — все удобные знаменатели для чисел $\alpha$ и $\beta$. Очевидно, для каждого $q_i$ существует только одно целое $p_i$ такое, что $|q_i\alpha-p_i| < {1\over 10}$, это $p_i$ мы назовём соответствующим $q_i$ ${\it удобным~числителем}$.
Сначала разберём случай, когда $0 < \alpha, \beta < {1\over 10}$. Пусть $p_1 < p_2 < \dots$ — удобные числители для $\alpha$, а $p'_1 < p'_2 < \dots$ — удобные числители для $\beta$. Докажем индукцией по $i$, что $p_i=p'_i$ при всех натуральных $i$. Очевидно, $p_1=p'_1=0$. Пусть $p_k=p'_k$. Если $q_{k+1}=q_k+1$, то $p_{k+1}=p_k$ (так как $|p_k-q_k\alpha| < {1\over 10}$ и $|p_{k+1}-q_{k+1}\alpha|=|p_k-q_k\alpha-\alpha| < {1\over 10}$) и аналогично $p'_{k+1}=p'_k$, откуда $p_{k+1}=p'_{k+1}$. Если же $q_{k+1} > q_k+1$, то $p_{k+1}=p_k+1$. Действительно, в возрастающей арифметической прогрессии с первым членом $(q_k+1)\alpha$ и разностью $\alpha < {1\over 10}$ первый член меньше $(p_k+1)-{1\over 10}$, следовательно, должны быть и члены, отстоящие от $p_k+1$ менее, чем на $1\over 10$. Аналогично $p'_{k+1}=p'_k+1$, и наше утверждение доказано.
Поскольку $|q_k\alpha-p_k| < {1\over 10}$ и $|q_k\beta-p_k| < {1\over 10}$, получаем, что $|q_k(\alpha-\beta)| < {1\over 5}$ при всех $k$, откуда $\alpha=\beta$.
В случае, когда $\alpha$ и $\beta$ произвольны, рассмотрим числа $q_1\alpha$ и $q_1\beta$. Изменяя при необходимости знаки, мы можем считать, что $0 < \{q_1\alpha\}, \{q_1\beta\} < {1\over 10}$. Поскольку для чисел $q_1\alpha$ и $q_1\beta$ условие задачи также выполнено, оно выполнено и для чисел $\{q_1\alpha\}$ и $\{q_1\beta\}$, поэтому $\{q_1\alpha\}=\{q_1\beta\}$. Это означает, что $q_1\alpha-q_1\beta=r$ — целое число, то есть разность $\alpha-\beta={r\over q_1}$ рациональна.
Предположим, что число $r\over q_1$ не целое. Тогда ${1\over 3}\leq \{{kr\over q_1}\}\leq {2\over 3}$ для некоторого $k$. Воспользуемся тем, что для любых $u$ и $v$, $0\leq u < v\leq 1$, в любой арифметической прогрессии с иррациональной разностью $\vartheta$ существует член, дробная часть которого лежит на интервале $(u,v)$. В частности, для некоторого натурального $n$ число $(nq_1+k)\alpha$ отстоит от ближайшего целого менее, чем на $1\over 10$. Но при этом и $(nq_1+k)\beta$ должно отстоять от ближайшего целого менее, чем на $1\over 10$, что противоречит тому, что $\{(nq_1+k)\alpha-(nq_1+k)\beta\}=\{nr+{kr\over q_1}\}\in[{1\over 3}, {2\over 3}]$.