12-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2016 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Диагонали четырёхугольника

$ABCD$ , вписанного в окружность с центром

$O$ , пересекаются в точке

$M$ . Описанная окружность треугольника

$ABM$ пересекает стороны

$AD$ и

$BC$ в точках

$N$ и

$K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольники

$NOMD$ и

$KOMC$ имеют равные площади. ( Емил Стоянов )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Числа

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_{100}$ — перестановка чисел от 1 до 100. Пусть

${S_1} = {a_1},$

${S_2} = {a_1} + {a_2},$

${S_{100}} = {a_1} + {a_2} + \ldots {a_{100}}.$ Какое наибольшее количество точных квадратов могло оказаться среди чисел

$S_1$ ,

$S_2$ ,

$\ldots$ ,

$S_{100}$ ? ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2)

Задача №3. В Графландии 60 городов, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно покрасить четыре города в красный цвет, а другие четыре — в зелёный так, чтобы каждая дорога, соединяющая красный город с зелёным, была направлена от красного к зелёному. ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)

Задача №4. Найдите все

$k>0$ , при которых существует строго убывающая функция

$g:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ такая, что

$g(x)\geq kg(x+g(x))$ при всех положительных

$x$ . ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(5)

Задача №5. Дан выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ , в котором

$AB\parallel DE$ ,

$BC\parallel EF$ ,

$CD\parallel FA$ . Точки

$M$ ,

$N$ и

$K$ — точки пересечения прямых

$BD$ и

$AE$ ,

$AC$ и

$DF$ ,

$CE$ и

$BF$ соответственно. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек

$M$ ,

$N$ и

$K$ к прямым

$AB$ ,

$CD$ и

$EF$ соответственно, пересекаются в одной точке. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3)

Задача №6. Натуральное число

$q$ назовём удобным знаменателем для вещественного числа

$\alpha$ , если

$|\alpha-{p\over q}|<{1\over 10q}$ при некотором целом

$p$ . Докажите, что если у двух иррациональных чисел

$\alpha$ и

$\beta$ множества удобных знаменателей совпадают, то

$\alpha+\beta$ или

$\alpha-\beta$ — целое число. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

результаты