қазақша
русский12-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2016 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Диагонали четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность с центром $O$, пересекаются в точке $M$. Описанная окружность треугольника $ABM$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольники $NOMD$ и $KOMC$ имеют равные площади.
(
Емил Стоянов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{100}$ — перестановка чисел от 1 до 100. Пусть ${S_1} = {a_1},$ $ {S_2} = {a_1} + {a_2},$ ${S_{100}} = {a_1} + {a_2} + \ldots {a_{100}}.$
Какое наибольшее количество точных квадратов могло оказаться среди чисел $S_1$, $S_2$, $\ldots$, $S_{100}$?
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. В Графландии 60 городов, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно покрасить четыре города в красный цвет, а другие четыре — в зелёный так, чтобы каждая дорога, соединяющая красный город с зелёным, была направлена от красного к зелёному.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Найдите все $k>0$, при которых существует строго убывающая функция
$g:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ такая, что $g(x)\geq kg(x+g(x))$ при
всех положительных $x$.
(
Исмаилов Ш.Н.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$,
$CD\parallel FA$. Точки $M$, $N$ и $K$ — точки пересечения прямых
$BD$ и $AE$, $AC$ и $DF$, $CE$ и $BF$ соответственно. Докажите, что
перпендикуляры, проведенные из точек $M$, $N$ и $K$ к прямым $AB$, $CD$ и
$EF$ соответственно, пересекаются в одной точке.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Натуральное число $q$ назовём удобным знаменателем для вещественного
числа $\alpha$, если $|\alpha-{p\over q}|<{1\over 10q}$ при некотором целом $p$.
Докажите, что если у двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ множества
удобных знаменателей совпадают, то $\alpha+\beta$ или $\alpha-\beta$ — целое число.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)