12-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2016 год

Диагонали четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность с центром $O$, пересекаются в точке $M$. Описанная окружность треугольника $ABM$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольники $NOMD$ и $KOMC$ имеют равные площади. ( Емил Стоянов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $\omega_1$ — описанная окружность четырёхугольника $ABCD$, а $\omega_2$ — описанная окружность треугольника $ABM$. Углы $CAD$ и $DBC$ опираются на одну дугу окружности $\omega_1$ и поэтому равны. Отсюда следует, что хорды $MN$ и $MK$, на которые эти углы опираются в $\omega_2$, также равны. Отрезки $OD$ и $OC$ равны как радиусы $\omega_1$ Пусть $t$ — касательная прямая к окружности $\omega_1$ в точке $D$. Угол между $t$ и $AD$ равен $\angle ABD$ (потому что оба равны половине дуги $AD$) и, следовательно, равен $MND$ (так как четырёхугольник $ABMN$ вписанный). Таким образом, отрезок $MN$ параллелен $t$, значит, перпендикулярен $OD$. Аналогично отрезок $MK$ перпендикулярен $OC$. Следовательно, площади четырёхугольников $NOMD$ и $KOMC$ равны, так как соответственные диагонали этих четырёхугольников равны и в обоих четырёхугольниках диагонали перпендикулярны.

Пусть $\angle ACD=c$ тогда $\angle DBA=c$

Пусть $\angle CDB=a$ тогда $\angle CAB=a$

Пусть $\angle CBD=b$ тогда $\angle CBD=b$

Так как O-центр описанной окружности $ABCD$ заметим что $OC=OP$ заметим что $KM=MN$; так как $\angle KBM=\angle MAN$ заметим что $\angle DMN=a+b$ ведь точки $M,N,B,A$-лежат на одной окружности также заметим что $\angle CNK=b+c$ ведь $K,M,A,B$

-лежат на одной окружности. Пусть $DO \cap MN=Q$ и $CO \cap KM=R$ пусть $\angle MDO=x$ и $\angle MCO=y$ заметим что $x+a=y+c$ также мы имеем $\angle DQN= \angle MDQ + \angle DMQ=a+b+x$ , $\angle CRK= \angle RCM + \angle CMK=b+c+y$ откуда следует $\angle DQN= \angle CRK$. $A(NOMD)=\frac{MQ*QD*sin(\angle MQD)}{2} + \frac{DQ*QN*sin(\angle DQN)}{2} + \frac{NQ*QO*sin(\angle NQD)}{2} + \frac{MQ*QO*sin(\ angle MQD)}{2}=\frac{sin(\angle DQN)*(MQ*QD+DQ*QN+NQ*QO+QO*MQ)}{2}=\frac{sin(\angle DQM)*OD*MN}{2}$ $АНАЛОГИЧНО$ $A(MOKC)=\frac{sin(\angle CRK)*CO*MK}{2}$ также мы знаем что $MN=MK;CO=OD$ и $\angle DQN=\angle CRK$ $ \Rightarrow$ $A(MOKC)=A(NOMD)$