12-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2016 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Центрі

$O$ нүктесі болатын шеңберге

$ABCD$ төртбұрышы іштей сызылған; оның диагональдары

$M$ нүктесінде қиылысады.

$ABM$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AD$ және

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$N$ және

$K$ нүктелерінде қияды.

$NOMD$ және

$KOMC$ төртбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңдер. ( Емил Стоянов )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Бізге

$1, 2, \ldots, 100$ сандарының алмастыруы болатын

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots,$

$a_{100}$ тізбегі берілген.

$S_1 = a_1$ ,

$S_2 = a_1+a_2$ ,

$\ldots,$

$S_{100} = a_1+a_2+\ldots+a_{100}$ деп белгілейік.

$S_1$ ,

$S_2$ ,

$\ldots,$

$S_{100}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат кездесуі мүмкін? ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Графландия елінде 60 қала бар; әрбір екі қала бір бағытты жолмен байланысқан. Мынадай шартты қанағаттандыратын қызыл түске бояуға болатын төрт қала және жасыл түске бояуға болатын төрт қала табылатынын дәлелдеңіздер: қызыл қала мен жасыл қаланы байланыстыратын әрбір жол қызыл қаладан жасыл қалаға бағытталған. ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Кез келген оң нақты

$x$ үшін

$g\left( x \right)\ge k\cdot g\left( x+g\left( x \right) \right)$ теңсіздігін қанағаттандыратын кемімелі

$g : (0,+\infty )\to (0,+\infty )$ функциясы табылатындай барлық

$k > 0$ мәндерін анықтаңдар. ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(5)

Есеп №5.

$AB \parallel DE$ ,

$BC \parallel EF$ және

$CD \parallel FA$ болатын дөңес

$ABCDEF$ алтыбұрышы берілген.

$BD$ мен

$AE$ ,

$AC$ мен

$DF$ және

$CE$ мен

$BF$ түзулерінің қиылысу нүктелерін сәйкесінше

$M$ ,

$N$ және

$K$ деп белгілейік.

$M$ ,

$N$ және

$K$ нүктелерінен сәйкесінше

$AB$ ,

$CD$ және

$EF$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Егер бір бүтін

$p$ үшін

$\left| \alpha -\dfrac{p}{q} \right| < \dfrac{1}{10q}$ теңсіздігі орындалатын болса, біз

$q$ натурал санын нақты

$\alpha$ санына ыңғайлы бөлім болады дейміз. Егер екі иррационал

$\alpha$ және

$\beta$ сандарының ыңғайлы бөлімдер жиындары бірдей болса, онда

$\alpha +\beta$ саны немесе

$\alpha -\beta$ саны бүтін болатынын дәлелдеңдер. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

результаты