қазақша
русский12-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2016 жыл
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Центрі $O$ нүктесі болатын шеңберге $ABCD$ төртбұрышы іштей сызылған; оның диагональдары $M$ нүктесінде қиылысады. $ABM$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AD$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $N$ және $K$ нүктелерінде қияды. $NOMD$ және $KOMC$ төртбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңдер.
(
Емил Стоянов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Бізге $1, 2, \ldots, 100$ сандарының алмастыруы болатын $a_1$, $a_2$, $\ldots,$ $a_{100}$ тізбегі берілген. $S_1 = a_1$, $S_2 = a_1+a_2$, $\ldots,$ $S_{100} = a_1+a_2+\ldots+a_{100}$ деп белгілейік. $S_1$, $S_2$, $\ldots,$ $S_{100}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат кездесуі мүмкін?
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Графландия елінде 60 қала бар; әрбір екі қала бір бағытты жолмен байланысқан. Мынадай шартты қанағаттандыратын қызыл түске бояуға болатын төрт қала және жасыл түске бояуға болатын төрт қала табылатынын дәлелдеңіздер: қызыл қала мен жасыл қаланы байланыстыратын әрбір жол қызыл қаладан жасыл қалаға бағытталған.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Кез келген оң нақты $x$ үшін $g\left( x \right)\ge k\cdot g\left( x+g\left( x \right) \right)$ теңсіздігін қанағаттандыратын кемімелі $g : (0,+\infty )\to (0,+\infty )$ функциясы табылатындай барлық $k > 0$ мәндерін анықтаңдар.
(
Исмаилов Ш.Н.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. $AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$ және $CD \parallel FA$ болатын дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышы берілген. $BD$ мен $AE$, $AC$ мен $DF$ және $CE$ мен $BF$ түзулерінің қиылысу нүктелерін сәйкесінше $M$, $N$ және $K$ деп белгілейік. $M$, $N$ және $K$ нүктелерінен сәйкесінше $AB$, $CD$ және $EF$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Егер бір бүтін $p$ үшін $\left| \alpha -\dfrac{p}{q} \right| < \dfrac{1}{10q}$ теңсіздігі орындалатын болса, біз $q$ натурал санын нақты $\alpha $ санына ыңғайлы бөлім болады дейміз. Егер екі иррационал $\alpha $ және $\beta $ сандарының ыңғайлы бөлімдер жиындары бірдей болса, онда $\alpha +\beta $ саны немесе $\alpha -\beta $ саны бүтін болатынын дәлелдеңдер.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)