Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2007 жыл
Комментарий/решение:
Ответ - не может
1)Возможны две ситуации
(I) - В исходном многочлене f(x) есть какие-то два повторяющихся коэффициента, например f(x)=ax2+ax+b
(II) - В исходном многочлене f(x) нет повторяющихся коэффициентов, например f(x)=ax2+bx+c
2)Рассмотрим 1.I.1
f1(x)=ax2+bx+b
Возможные g(x):
g1(x)=bx2+ax+b;g2(x)=bx2+bx+a
Рассмотрим разность f1(x) и g1(x)
f1(x)−g1(x)=(a−b)⋅x2+(b−a)⋅x=(a−b)⋅x⋅(x−1)
Понятно, что f1(x)−g1(x)≤0 при x∈[0;1],∀a,b
3)Рассмотрим разность f1(x) и g2(x)
f1(x)−g2(x)=(a−b)⋅x2+(b−a)=(a−b)⋅(x2−1)
Понятно, что f1(x)−g2(x)≤0 при x∈[−1;1],∀a,b
4)Рассмотрим 1.I.2
f2(x)=ax2+ax+b
Возможные g(x):
g3(x)=ax2+bx+a;g4(x)=bx2+ax+a
5)Рассмотрим разность f2(x) и g3(x)
f2(x)−g3(x)=(a−b)⋅x+(b−a)=(a−b)⋅(x−1)
Понятно, что f2(x)−g3(x)≤0 при x≤1,∀a,b
6)Рассмотрим разность f2(x) и g4(x)
f2(x)−g3(x)=(a−b)⋅x2+(b−a)=(a−b)⋅(x2−1)
Понятно, что f2(x)−g4(x)≤0 при x∈[−1;1],∀a,b
7)Случаями (2) - (6) исчерпывается случай 1.I. При всех вариантах, fi(x)−gj(x) не может быть ≥0∀x. Обязательно есть интервал, где fi(x)−gj(x)≤0
8)Рассмотрим случай 1.II
f(x)=ax2+bx+c
Возможные g(x):
g1(x)=ax2+cx+b;g2(x)=bx2+cx+a;
g3(x)=bx2+ax+c;g4(x)=cx2+bx+a
g5(x)=cx2+ax+b;
9)Заметим, что
f(1)=g1(1)=g2(1)=g3(1)=g4(1)=g5(1)=a+b+c
Делаем вывод, что все графики пересекаются (или касаются) в точке (1;a+b+c)
Слева и справа от этой точки пересечения f(x)−gi(x) примет разный знак (*Краеугольное высказывание, надо подумать как его доказать*). А значит, f(x)−gi(x)≥0 опять таки выполнится не для всех икс
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.