Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2007 жыл


Бір біріне тең емес екі үшмүше f(x) және g(x), коэффициенттерінің орындары бойынша өзгеше. Барлық нақты x үшін, f(x)g(x) болуы мүмкін бе? ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 1 месяца назад #

Ответ - не может

1)Возможны две ситуации

(I) - В исходном многочлене f(x) есть какие-то два повторяющихся коэффициента, например f(x)=ax2+ax+b

(II) - В исходном многочлене f(x) нет повторяющихся коэффициентов, например f(x)=ax2+bx+c

2)Рассмотрим 1.I.1

f1(x)=ax2+bx+b

Возможные g(x):

g1(x)=bx2+ax+b;g2(x)=bx2+bx+a

Рассмотрим разность f1(x) и g1(x)

f1(x)g1(x)=(ab)x2+(ba)x=(ab)x(x1)

Понятно, что f1(x)g1(x)0 при x[0;1],a,b

3)Рассмотрим разность f1(x) и g2(x)

f1(x)g2(x)=(ab)x2+(ba)=(ab)(x21)

Понятно, что f1(x)g2(x)0 при x[1;1],a,b

4)Рассмотрим 1.I.2

f2(x)=ax2+ax+b

Возможные g(x):

g3(x)=ax2+bx+a;g4(x)=bx2+ax+a

5)Рассмотрим разность f2(x) и g3(x)

f2(x)g3(x)=(ab)x+(ba)=(ab)(x1)

Понятно, что f2(x)g3(x)0 при x1,a,b

6)Рассмотрим разность f2(x) и g4(x)

f2(x)g3(x)=(ab)x2+(ba)=(ab)(x21)

Понятно, что f2(x)g4(x)0 при x[1;1],a,b

7)Случаями (2) - (6) исчерпывается случай 1.I. При всех вариантах, fi(x)gj(x) не может быть 0x. Обязательно есть интервал, где fi(x)gj(x)0

8)Рассмотрим случай 1.II

f(x)=ax2+bx+c

Возможные g(x):

g1(x)=ax2+cx+b;g2(x)=bx2+cx+a;

g3(x)=bx2+ax+c;g4(x)=cx2+bx+a

g5(x)=cx2+ax+b;

9)Заметим, что

f(1)=g1(1)=g2(1)=g3(1)=g4(1)=g5(1)=a+b+c

Делаем вывод, что все графики пересекаются (или касаются) в точке (1;a+b+c)

Слева и справа от этой точки пересечения f(x)gi(x) примет разный знак (*Краеугольное высказывание, надо подумать как его доказать*). А значит, f(x)gi(x)0 опять таки выполнится не для всех икс