Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур дистанционного этапа

На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018: 1, 2, 3, $\ldots$, 2018. Найдите среди них какие-нибудь два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стёртыми, оказалась вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Например, числа 673 и 1346.
Решение. Заметим, что суммы чисел, равноотстоящих от концов ряда, равны: $1+2018 = 2+2017 = \ldots = 1009+1010.$ Если стереть одну такую пару чисел, пар останется $1008 = 336 \cdot 3.$ Значит, если между стёртыми числами будет 336 пар, то снаружи останется $336 \cdot 2 = 672$ пары, и условие задачи будет выполнено. Именно так и получится, если стереть числа 673 и 1346.
Замечание. Приведённый в ответе пример – не единственный: ещё подходят, например, числа 1289 и 1738.

жауабы: 673 және 1346

1+2018=2019

2+2017=2019

673+1346=2019

674+1345 =2019

1009 жұп бар

1009-1жұп алсақ 1008 жұп қалады

өшірілген жұп арасында 336 жұп, ал сыртында 672 жұп бар

336+672=1008