Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1. На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018: 1, 2, 3,

$\ldots$ , 2018. Найдите среди них какие-нибудь два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стёртыми, оказалась вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ провели биссектрису

$BD$ , а в треугольниках

$ABD$ и

$CBD$ биссектрисы

$DE$ и

$DF$ соответственно. Оказалось, что

$EF \parallel AC$ . Найдите угол

$DEF$ . ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Для каждой пары различных натуральных чисел

$a$ и

$b$ , не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую

$y = ax+b$ (то есть он нарисовал прямые

$y = x+2, \ldots , y = x+20,$

$y = 2x+1, y = 2x+3,$

$\ldots,$

$y = 2x+20,$

$\ldots,$

$y = 3x+1, y = 3x+2, y = 3x+4,$

$\ldots,$

$y = 3x+20,$

$\ldots , y = 20x+1, \ldots , y = 20x+19).$ Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Квадрат со стороной 100 разрезали на квадраты (не обязательно одинаковые) со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата и меньшими 10. Докажите, что сумма периметров получившихся квадратов не меньше 4400. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3)

Задача №5. На каждой из пяти карточек написано какое-то число. Карточки лежат на столе числами вниз. Мы можем, заплатив рубль, указать на любые три карточки, и нам сообщат сумму написанных на них чисел. За какую наименьшую цену можно наверняка узнать сумму всех пяти чисел? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)