Леонард Эйлер атындағы X олимпиаданың дистанционды кезеңінің 1-ші туры

Есеп №1. Тақтаға бір қатарға 1-ден 2018-ге дейінгі барлық натурал сандар жазылған: 1, 2, 3,

$\ldots,$ 2018. Келесі шартты қанағаттандыратын қандай да бір екі санды табы-ңыздар: сол екі санды өшіргеннен кейін, өшірілген сандардың арасындағы сан-дардың қосындылары, қалған өшірілмеген сандардың қосындыларынан екі есе кіші болады. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышының

$BD$ биссектрисасы жүргізілген.

$DE$ және

$DF$ кесінділері сәйкесінше

$ABD$ және

$CBD$ үшбұрыштарының биссектрисалары.

$EF \parallel AC$ екені белгілі болса,

$DEF$ бұрышын табыңыздар. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Бір-біріне тең емес 20-дан аспайтын натурал

$a$ және

$b$ сандарының барлық жұп-тары үшін Петя тақтаға

$y = ax+b$ түзуін сызды (яғни ол

$y = x+2$ ,

$\ldots,$

$y = x+20,$

$y = 2x+1,$

$y = 2x+3,$

$\ldots,$

$y = 2x+20,$

$\ldots,$

$y = 3x+1,$

$y = 3x+2,$

$y = 3x+4,$

$\ldots,$

$y = 3x+20,$

$\ldots,$

$y = 20x+1,$

$\ldots,$

$y = 20x+19$ түзулерінің барлығын сызды). Ал Вася сол тақтада, центрі координаттар басында орналасқан, радиусы 1 болатын шеңбер сызды. Петя сызған түзулердің қаншасы Вася сызған шеңберді қияды? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Қабырғасы 100 болатын квадратты кіші квадраттарға бөлген (кіші квадраттар тең болуы міндетті емес). Кіші квадраттардың қабырғалары 10-нан кіші және бас-тапқы квадраттың қабырғаларына параллель. Кіші квадраттардың периметрлері-нің қосындылары 4400-ден кем емес екенін дәлелдеңіздер. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Бес карточканың әрқайсысында қандай-да бір сан жазылған. Карточкалар үс-телде сандарымен төмен қаратылып жатыр. Егер біз бір рубль беріп, кез келген үш карточканы көрсетсек, бізге сол карточкалардағы жазылған сандардың қосын-дысын айтады. Ең аз дегенде қанша ақша төлеу арқылы, біз карточкалардағы бес сандардың қосындысын кепілді түрде таба аламыз? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)