Леонард Эйлер атындағы X олимпиаданың дистанционды кезеңінің 1-ші туры

Есеп №1. Тақтаға бір қатарға 1-ден 2018-ге дейінгі барлық натурал сандар жазылған: 1, 2, 3, $\ldots,$ 2018. Келесі шартты қанағаттандыратын қандай да бір екі санды табы-ңыздар: сол екі санды өшіргеннен кейін, өшірілген сандардың арасындағы сан-дардың қосындылары, қалған өшірілмеген сандардың қосындыларынан екі есе кіші болады. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының $BD$ биссектрисасы жүргізілген. $DE$ және $DF$ кесінділері сәйкесінше $ABD$ және $CBD$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $EF \parallel AC$ екені белгілі болса, $DEF$ бұрышын табыңыздар. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Бір-біріне тең емес 20-дан аспайтын натурал $a$ және $b$ сандарының барлық жұп-тары үшін Петя тақтаға $y = ax+b$ түзуін сызды (яғни ол $y = x+2$, $\ldots,$ $y = x+20,$ $y = 2x+1,$ $y = 2x+3,$ $\ldots,$ $y = 2x+20,$ $\ldots,$ $y = 3x+1,$ $y = 3x+2,$ $y = 3x+4,$ $\ldots,$ $y = 3x+20,$ $\ldots,$ $y = 20x+1,$ $\ldots,$ $y = 20x+19$ түзулерінің барлығын сызды). Ал Вася сол тақтада, центрі координаттар басында орналасқан, радиусы 1 болатын шеңбер сызды. Петя сызған түзулердің қаншасы Вася сызған шеңберді қияды? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Қабырғасы 100 болатын квадратты кіші квадраттарға бөлген (кіші квадраттар тең болуы міндетті емес). Кіші квадраттардың қабырғалары 10-нан кіші және бас-тапқы квадраттың қабырғаларына параллель. Кіші квадраттардың периметрлері-нің қосындылары 4400-ден кем емес екенін дәлелдеңіздер. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Бес карточканың әрқайсысында қандай-да бір сан жазылған. Карточкалар үс-телде сандарымен төмен қаратылып жатыр. Егер біз бір рубль беріп, кез келген үш карточканы көрсетсек, бізге сол карточкалардағы жазылған сандардың қосын-дысын айтады. Ең аз дегенде қанша ақша төлеу арқылы, біз карточкалардағы бес сандардың қосындысын кепілді түрде таба аламыз? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)